$\phi(n)=\frac{n}{2}$ si y sólo si $n=2^k$ para algún número entero positivo k

Question

Demostrar que $\phi(n)=\frac{n}{2}$ si y sólo si $n=2^k$ por algún número entero positivo k. Creo que lo tengo claro y me gustaría ver si voy por el buen camino. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $n=2^k$ donde $k$ es positivo. Entonces los números del intervalo $0 \le a \le 2^k-1$ que son relativamente primordiales para $2^k$ son precisamente los números Impares en este intervalo. Como la mitad de los números de nuestro intervalo son Impares y la otra mitad son pares, $\varphi(n)=n/2$ .

A la inversa, supongamos que $\varphi(n)=n/2$ . Entonces $n$ está en paz. Sea $n=2^k b$ donde $b$ es impar. Entonces por la multiplicatividad de $\varphi$ tenemos $\varphi(n)=2^{k-1}\varphi(b)$ . Si esto es igual a $n/2$ entonces $2^{k-1}\varphi(b)=2^{k-1}b$ y por lo tanto $\varphi(b)=b$ . Esto sólo es posible si $b=1$ . (Si $b\gt 1$ entonces $0$ no es relativamente primo de $b$ .)

Observación: La prueba se puede hacer a un nivel inferior, simplemente utilizando el definición de $\varphi(n)$ . Supongamos que $\varphi(n)=n/2$ . Entonces $n=2^kb$ para algún positivo $k$ e impar $b$ . Hay $n/2$ números pares en el intervalo $0\le a \lt 2^kb$ y ninguno es relativamente primo tp $n$ . Así que si $\varphi(n)=n/2$ , todo lo demás debe serlo. Pero si $b \gt 1$ entonces $b$ no es relativamente primo de $n$ Así que $\varphi(n)\lt n/2$ . De ello se desprende que $b=1$ .

Answer 2

Sugerencia $\ $ La prueba es igual de sencilla para cualquier la primera potencia, es decir

Teorema $\rm\ \ \phi(n)\, =\, n - {\bf \color{#0A0}{n/p}}\, \iff\, n = p^k$

Prueba $\rm\ (\Leftarrow)\ \, $ Los números enteros $\rm\in[1,n]\,$ no coprima a $\rm\,n = p^k\,$ son $\rm\,k\!\ p,\ k = 1,2,\ldots, {\bf \color{#0A0}{n/p}}.$

$(\Rightarrow)\ \, $ $\rm\phi(n)\, =\, n-n/p\in\mathbb Z\:\Rightarrow\:p\:|\:n,\,$ por lo que si $\rm\:n\ne p^k\,$ entonces algún primo $\rm\:q\ne p\,$ también divide $\rm\,n,\,$ por lo tanto, ambos $\rm\:\bf\color{#C00}q\:$ y el $\rm\:\bf\color{#0A0}{n/p}\:$ múltiplos de $\rm\,p\,$ son no coprima a $\rm\:n,$ así $\rm\:\phi(n) \le n - {\bf\color{#0A0}{n/p}} - {\bf \color{#C00}1}.$

Answer 3

Si $n=2^k \Leftrightarrow \phi(n)=\phi(2^k)=2^k-2^{k-1}$ siempre que k sea mayor que 2

$\Leftrightarrow \phi(2^k)=2^{k-1}$

$\Leftrightarrow \phi(2^k)=\frac{2^k}{2}$

$\Leftrightarrow \phi(2^k)=\frac{n}{2}$

pero esto es cierto excepto en un caso (k=1).

Answer 4

Desde $\phi(n)=n/2$ , $n$ es uniforme. Lo tenemos, $\phi(n)/n=\prod_{p|n}(1-1/p)=1/2\prod_{p|n, p\neq2}\frac{p-1}{p}$ . Tenga en cuenta que $\frac{p-1}{p}<1$ para cualquier primo $p$ . y así se multiplicó hasta $1/2$ debe ser inferior a 1/2.