$f(y-x)$ integrable implica $f=0$.e.

Question

Si $f(y-x)$$L^p(\mathbb R^d\times\mathbb R^d)$, entonces me parece que a la conclusión de que la $f=0$.e. (lo cual parece mal). Mi razonamiento es que por Fubini y la integral del turno de la invariancia (suponga $p=1$ por comodidad) $$\infty>\iint|f(y-x)|dydx = \int\left( \int |f(y-x)|dy\right) dx = \int\left( \int |f(y)|dy\right) dx = \int \text{const}\ dx $$ The const is non-negative but can't be positive else the right hand side will diverge, thus const $=0$. But this implies that $f=0$.

A donde voy mal?

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, tu razonamiento es correcto y como ˈjuː.zɚ79365 dijo:

Hay una diferencia entre la función de $x\mapsto K(x)$ integrable en $\mathbb R^d$ y la función de $(x,y)\mapsto K(x−y)$ integrable en $\mathbb R^d\times \mathbb R^d$. Lo anterior es cierto para todos los $L^1$ funciones; esto último es cierto sólo para las funciones que son cero.e.