Pregunta sobre la exactitud de $\pi$

Question

Siempre he sido confundido con respecto a la exactitud de $\pi$.

En los libros que se han escrito sobre este tema $\pi$ , hay referencias de la gente y de sus métodos para hallar el valor de $\pi$. La persona a encontrar el valor de $\pi$ y luego dice que la persona B se encontró valor más exacto de $\pi$ (puede ser de hasta el $100$ decimal) y, a continuación, la persona C que se encuentra mucho más precisa vale de $\pi$ y esto va en.

Mi pregunta es: ¿Cómo el matemático SABE que el valor de $\pi$ del que se ha calculado según sea el algoritmo que se aplica ES la MÁS PRECISA, el valor calculado por la anterior Matemático?

Imagine un escenario, donde el mundo acaba de empezar y hay sólo $2$ matemáticos (A & B). Matemático ha calculado el valor de de $\pi$ $3.1547$ (este valor es en el antiguo texto Chino), ahora el otro matemático dice que él ha calculado un valor más exacto, es decir,$3.1416$.

Mi pregunta es ¿Cómo es el Matemático B tan seguro de que $3.1416$ es un valor más exacto?

Me refiero a que no existe un estándar con el que comparar.

Wikipedia dice: El astrónomo Indio Aryabhata utiliza un valor de $3.1416$. Fibonacci en c. 1220 calculadas $3.1418$. El escritor italiano Dante al parecer empleado el valor de $3.14142$.

Cuando no hay un estándar para comparar, ¿cómo voy a saber cual es el valor correcto de $\pi$?

Yo realmente deseo que alguien podría explicar que a mí. Gracias a todos.

Answer 1

Podemos demostrar que $$\pi=4\arctan 1 =4\sum_{i=1}^\infty \frac{-(-1)^i}{2i-1}=4\left(1-\frac 13+\frac 15-\frac 17+\dots\right)$$ There are series that converge much more quickly, but let's pretend that this is the only series so far known. The alternating series theorem says that the error truncating a series like this is of the sign of and smaller than the first neglected term. A lazy mathematician might compute the first hundred terms, getting $3.13159\frac {+ 0.02} {-0} $. Another might sum the first thousand terms, which would give a maximum error of $ 0,002$ y claramente mejor. Otras fórmulas también vienen con un límite en el error, así que sabemos lo mal que puede ser.

Answer 2

Una forma fácil de entender el método de aproximación de pi es el de la aproximación poligonal. Como es el caso aquí, que a menudo no acaba de estado el valor exacto de pi. Sin embargo, podemos decir con certeza que la pi se encuentra entre algunos de límite inferior y límite superior.

Si el límite inferior y el límite superior está dentro de $10^{-n}$ de cada uno de los otros, entonces podemos afirmar, con toda certeza, la primera $n$ dígitos de pi, ya que estos dígitos son compartidos por la parte superior y límite inferior. El desafío, entonces, es conseguir que el superior y el límite inferior como juntos (y por tanto, cerca de pi) como sea posible.

Answer 3

Una de las maneras más comunes para calcular el $\pi$ es a través de una suma de una serie.

Una manera simple de ver es de la Serie de Taylor de $\arctan(x)$ evaluado en $1$ rendimientos $\pi / 4$. (Enlace para WolframAlpha en esta Serie de Taylor: http://goo.gl/XK5O1i). Es fácil ver que la suma de los primeros a $n$ términos de la serie de Taylor es como una aproximación de $\pi$ que es menos precisa que la suma de los primeros a $n+1$ términos.

Esto garantiza que podamos mejorar continuamente la calidad de nuestros aproximación de $\pi$. Ahora el método que les acabo de mostrar no es la ayunas manera de aproximar $\pi$ (con esto me refiero a aquel cuyo error después de la $n$ pasos es lo de menos), pero sin duda es una manera en que podemos garantizar la mejora continua de nuestra aproximación al aumentar el número de términos que estamos utilizando.

Espero que esto ayude!

Answer 4

"Me refiero a que no existe un estándar con el que comparar."

Esto no es necesariamente cierto; el valor de $\pi$ no han sido claramente definidos numéricamente, pero está implícita en otros lugares, por ejemplo, la circunferencia de un círculo: es el producto de el diámetro del círculo y $\pi$. Si yo fuera un matemático de hace miles de años, me gustaría intentar encontrar $\pi$ mediante la medición de una cadena a algunos precisa grado, y llamar a esta medición de la cuerda de la circunferencia.

A partir de ahí, me gustaría lugar de esta cadena en un círculo a la mejor de mi capacidad (no estoy seguro de cómo los antiguos Romanos hacían, pero sospecho que tenían formas, ya que la geometría era un fuerte tema de debate) y, a continuación, utilizar otra cadena para encontrar la distancia máxima desde un punto a otro punto en el círculo, llamando a esto, la máxima distancia a la que el "diámetro". A partir de ahí, es cuestión de usar la división larga para calcular numéricamente $\pi$.

Después de la computación $\pi$ en consecuencia, usted podría tomar ese valor, y tratar de multiplicar por el diámetro de un círculo hecho con otra cadena de una longitud diferente de ver cómo "off". Así que, en realidad, ni siquiera necesita dos matemáticos para medir cuán preciso es el $\pi$ estimación.

Hoy en día, las aproximaciones de tales números irracionales son realizados utilizando métodos de Monte Carlo - hay una muy famosa y fácil-a-entender una para averiguar $\pi$. Un poco de investigación en línea directa. La exactitud es básicamente limitada a la potencia de cálculo; el mayor poder que tenemos, con más precisión, podemos aproximar $\pi$.

Por último, considere la posibilidad de la matemática avance en el desarrollo en serie de Taylor. Utilizando la serie, podemos numéricamente encontrar el valor de muchos de los números irracionales (incluyendo $\pi$), y estimar razonablemente nuestra precisión.

Answer 5

Sin normas, por supuesto, usted no puede incluso estar de acuerdo acerca de lo $\pi$ significa que, o realmente hablar de cualquier cosa. El lenguaje en sí es un estándar.

Las normas pueden ser acordada entre dos personas, pero es más difícil de establecer con un pequeño grupo de personas que con un grupo grande de personas, ya que, a más de la mente, la más aclarar los argumentos pueden ser.

Es aún más difícil mantener los estándares en el campo de las ciencias físicas, donde hay incentivos fiscales para enturbiar el agua. Creo que la medicina, o el calentamiento global, o la química y el medio ambiente. La matemática es rara vez se plantean en el ámbito de la práctica de la argumentación ideológica, a pesar de Cantor y sus ideas sobre el infinito sin duda fueron un ejemplo. La mayoría de los matemáticos ideológica peleas son acerca de los fundamentos, y qué tipo de argumentos son permitidos, pero los argumentos que probablemente no afectará el cálculo de los dígitos de $\pi$.