Demostrar que lo universal que cubre el espacio de un grupo de Lie es único

Question

Este es un problema que se Lee en el libro de introducción a la suave colector. Estoy tratando de demostrar que el universal cubrir el espacio de un conectada Mentira grupo es único.

Supongamos $G$ es una Mentira grupo, y $\tilde{G}$ $\hat{G}$ son universales que abarcan grupos de $G$. Por lo tanto, el liso que cubre los mapas de $\pi:\tilde{G}\to G$ $\hat{\pi}:\hat{G}\to G$ son Mentira grupo homomorphisms.

Estoy tratando de mostrar que existe una Mentira grupo de isomorfismo $\Psi:\tilde{G}\to\hat{G}$ tal que $\hat{\pi}\circ\Psi=\pi$. La siguiente es mi intento.

Conozco a un universal que cubre de un colector es único. Esto significa que existe una diffeomorphism de $\Psi:\tilde{G}\to\hat{G}$ tal que $\hat{\pi}\circ\Psi=\pi$. Lo que queda es mostrar a $\Psi$ es en realidad un homomorphism, que exactamente significa que $$\Psi\circ\tilde{m}=\hat{m}\circ(\Psi\times\Psi)$$ donde $\tilde{m}$ $\hat{m}$ son de la multiplicación de los mapas en $\tilde{G}$$\hat{G}$, respectivamente.

Puedo mostrar que tanto $\Psi\circ\tilde{m}$ $\hat{m}\circ(\Psi\times\Psi)$ son elevadores de la misma mapa de $m\circ(\pi\times\pi)$ donde $m$ es la multiplicación mapa de $G$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $\Psi\circ\tilde{m}$ $\hat{m}\circ(\Psi\times\Psi)$ está de acuerdo en algún punto. Quiero mostrar que están de acuerdo $(\tilde{e},\tilde{e})$ donde $\tilde{e}$ es la unidad en la $\tilde{G}$.

Para demostrar que, es suficiente para mostrar $\Psi(\tilde{e})=\hat{e}$. Ahora, la prueba está casi hecho. Sin embargo, no puedo demostrar que es cierto.

He hecho dos inútil intento siguiente.

En primer lugar, me doy cuenta de que $\pi(\tilde{e})=\hat{\pi}(\hat{e})$. Por lo tanto, $\pi$ tiene un único mapa de elevación $F:\tilde{G}\to\hat{G}$ tal que $F(\tilde{e})=\hat{e}$. También, $\Psi$ es un ascensor de $\pi$. Sin embargo, no sé cómo demostrar que son el mismo.

Segundo, me doy cuenta de que $\hat{\pi}\circ\Psi(\tilde{e})=e$. Por lo tanto, elijo un vecindario $U$ $e$ uniformemente cubierto por $\hat{\pi}$. Claramente, $\hat{e},\Psi(\tilde{e})\in\hat{\pi}^{-1}(U)$. Sin embargo, no sé cómo demostrar que pertenecen a la misma componente de $\hat{\pi}^{-1}(U)$.

Sé que debo estar perdiendo algo obvio, ya que creo que la prueba está casi hecho. Alguien podría señalarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

El problema es que el mapa de $\Psi$ no es única, pero puede forzar a tener $\Psi(\tilde e)=\hat e$ en una manera única. El universal cubrir el espacio de un espacio, es el único hasta el isomorfismo, pero no a un único isomorfismo. Por ejemplo, la cobertura de mapa de $\mathbf R \to S^1$ tiene muchas automorfismos (que son en bijection con $\pi_1(S^1) = \mathbf Z$). Usted obtener unicidad de la isomorfismo sólo en la categoría de punta espacios. Por lo tanto, en realidad, dada la punta espacio de $(G,e)$ y dos de sus cubriendo espacios de $(\tilde G, \tilde e)$$(\hat G, \hat e)$, la característica universal de la cubierta del espacio implica que hay un único mapa de punta espacios de $\Psi: (\tilde G, \tilde e) \to (\hat G, \hat e)$.