Por un problema de probabilidad, que terminó con la siguiente expresión $$\sum_{k=0}^nk\ \binom{n}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k$ $ usando Mathematica he encontrado que el resultado debe ser $\frac{n}{3}$. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo llegar. ¿Alguna idea?
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Marco Cantarini
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Considerar la función $$ f\left (x\right) = \left (\frac {2} {3} + x\right) ^ {n}. $$ By the binomial theorem we have $$f\left (x\right) = \sum_ {k = 0} ^ {n} \dbinom {n} {k} \left (\frac {2} {3} \right) ^ {n-k} x ^ {k} $$ so if we take the derivative and we multiply by $x$ we have $$xf'\left (x\right) = \sum_ {k = 0} ^ {n} k\dbinom {n} {k} \left (\frac {2} {3} \right) ^ {n-k} x ^ {k} $$ so $$\sum_{k=0}^{n}k\dbinom{n}{k}\left (\frac {2} {3} \right) ^ {n-k} x ^ {k} = nx\left (\frac {2} {3} + x\right) ^ $$ now take $x=\frac{1}{3 {n-1}} $.
\begin{align*} \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k &=\sum_{k=0}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &=\frac{n}{3}\sum_{k=0}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)-(k-1)}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\\ &=\frac{n}{3}\sum_{k=0}^n \binom{n-1}{k-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)-(k-1)}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\\ &=\frac{n}{3}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^{n-1}\\ &=\frac{n}{3}. \end{align*} la segunda a la última línea es el resultado del teorema binomial.
Edit: Se señaló que tengo que tener cuidado cuando $k=0$. También cometí un error al aplicar el teorema del binomio. Aquí está una prueba de revisión. Tenga en cuenta que cuando $k=0$, el término de la suma es $0$, así que es lo mismo que a partir de $k=1$.
\begin{align*} \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k &= \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &= \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &=\sum_{k=1}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &=\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &=\frac{n}{3}\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)-(k-1)}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\\ &=\frac{n}{3}\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)-(k-1)}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\\ &=\frac{n}{3}\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)-k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\\ &=\frac{n}{3}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^{n-1}\\ &=\frac{n}{3}. \end{align*}
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Usted puede resolver la siguiente pregunta de dos maneras diferentes:
- Utilizando la distribución binomial
- El uso de la aproximación directa
Al rodar una feria de $6$colindado mueren $n$ veces, ¿cuál es el número esperado de veces que recibimos "1" o "2"?
Utilizando la distribución binomial, nos dividimos en distintos eventos y, a continuación, añadir sus probabilidades:
- La probabilidad de obtener "1" o "2" en un solo rollo es $\frac13$
- La probabilidad de obtener "1" o "2" en exactamente $k$ $n$ rollos es $\binom{n}{k}\cdot\left(\frac13\right)^{k}\cdot\left(1-\frac13\right)^{n-k}$
- El número esperado de veces que recibimos "1" o "2" en $n$ rollos es $\sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot\binom{n}{k}\cdot\left(\frac13\right)^{k}\cdot\left(1-\frac13\right)^{n-k}$
Utilizando el método directo, se espera obtener "1" o "2" exactamente $\frac13$ del tiempo, es decir, en $\frac{n}{3}$ $n$ rollos.
Por lo tanto:
$$\sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot\binom{n}{k}\cdot\left(\frac13\right)^{k}\cdot\left(1-\frac13\right)^{n-k}=\frac{n}{3}$$
