$(f(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ converge para todos continuo $f$. ¿Convergen $(x_n)_{n \in\mathbb{N}}$?

Question

Que $(S, d)$ sea un espacio métrico y $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una secuencia de $S$. Si $(f(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ converge continuas $f:S\to\mathbb{R},$ ¿sigue que $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge con respecto a los $d$?

Intuitivamente, creo que la implicación es verdadera, pero no puedo probarlo (no puede encontrar un contraejemplo o).

¿Alguna idea?

Answer 1

Esto es cierto. En particular, considere la posibilidad de cualquier secuencia $x_n$ de manera tal que todas las funciones continuas $f:S\rightarrow \mathbb R$ convergen. Vamos a empezar por mostrar que si $x_n$ tiene un punto límite $y$, entonces converge a $x$. En particular, la condición de ser un punto límite puede ser expresado como $$\liminf_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y)=0$$ sin embargo, desde la $x\mapsto d(x,y)$ es un continuo mapa el límite aplicado a $x_n$ debe existir y, por tanto, coincide con el límite infimum, dando $$\lim_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y)=0$$ significado $x_n$ converge a $y$.

A continuación, vamos a mostrar por la contradicción que $x_n$ tiene un punto límite. Supongamos que no. Nota de dos cosas: en Primer lugar, la imagen de la secuencia de $X=\{x_n\}$ es infinito, como ningún momento puede aparecer infinitamente a menudo. Segundo, cualquier subconjunto $S\subseteq X$ es cerrado, ya que cualquier punto en el límite de $S$ es de $S$ o es un punto límite de $x_n$. Sabiendo esto, vamos a tomar cualquier subconjunto $S$ $X$ tanto $S$ $X\setminus S$ son infinitas.

En este momento, usted puede solicitar la extensión de Tietze teorema para una función continua $f$ $1$ $S$ $0$ $X\setminus S$ y tenga en cuenta que $f(x_n)$ no convergen. Si desea trabajar de manera constructiva, a continuación, enumerar $S$$\{s_1,s_2,\ldots\}$. Definir $\varepsilon_n=\min(2^{-n},\inf\{d(s_n,y):y\in X\setminus \{s\}\})$. Esto siempre es positivo desde $X\setminus \{s\}$ está cerrado y no contiene $s$. Ahora, la función de definir $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\max\left(1-\frac{1}{\varepsilon_n}d(x,y_n),0\right)$$ El lector puede comprobar que esto es continua - el truco para mostrar esto es de señalar que, para cualquier $x$, hay algunos bola alrededor de ella, en la que sólo un número finito de sumandos son no-cero. Por otra parte, la suma es cero en $X\setminus S$ y uno en $S$, lo $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)$ no existe. Esta es la contradicción que estábamos buscando. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $x_n$ debe tener un punto límite y por lo tanto deben converger.

Answer 2

Un poco más corto solución: en efecto, como @Milo Brandt dijo que, si $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tiene algún punto límite $y$,$\liminf_{n\to\infty}d(x_n, y)=0$, lo que significa que $\lim_{n\to\infty}d(x_n, y)=0$ (desde $x \to d(x, y)$ es continuo), por lo $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Ahora debemos demostrar que $X=\{x_n\,\,|\,\,n \in \mathbb{N}\}$ tiene siempre algún punto límite. Si X es compacto, entonces necesariamente tiene un punto límite y hemos terminado. Si no es compacto, entonces existe una función continua $f:S\to\mathbb{R}$ tal que $\sup_{s\in X}f(s)=\infty$ o $\inf_{s\in X}f(s)=-\infty$. En ambos casos, $|f(x_n)|$ alcanza arbitrariamente grandes valores, lo cual es absurdo, ya que $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ es convergente y, por tanto, limitada.