Que $X_1,\dots,X_n$ i.i.d variables de al azar y $g$ una función simétrica tal que $$g(X_i,X_j)\sim N(\mu,\sigma^2)$$ for all $1\le i <$ n j\le. Deseo saber la función de densidad de la variable aleatoria conjunta $$Z=\left(g(X_1,X_2),g(X_1,X_3),\dots,g(X_{n-1},X_{n})\right)$$ which lies in ${n\choose 2} $-dimensional space. To do this, I assume that $Z $ follows multivariate normal distribution. However, the problem is that the covariance matrix $C $ of $z # $ es singular. ¿Alguien me podría ayudar? ¿Cualquier Consejo o sugerencia?
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Michael Hardy
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Ver mis comentarios debajo de la pregunta. Lo que escribo a continuación asumirá mis conjeturas hay a la derecha y que $a=1$.
Su matriz simétrica $C$ tendrá una fila correspondiente a cada desordenada par $\{i,j\}$.
La entrada en la fila $\{i,j\}$ y la columna $\{k,\ell\}$ $2$ si $\{i,j\}=\{k,\ell\}$. Esas son las entradas de la diagonal en la matriz. En la fila $\{i,j\}$, habrá un $1$ en cada columna $\{k,\ell\}$ que $|\{i,j\}\cap\{k,\ell\}| = 1$, y $2n-3$ tales columnas. El resto de los $\dbinom{n-2} 2$ tales columnas en la fila contendrá un $0$. Esta es una $\dbinom n 2 \times \dbinom n 2$ matriz de rango $n$. Puede ser diagonalized por ortogonal de la matriz y, a continuación, usted tiene la $n$ autovalores distintos de cero en la diagonal.
Software me está diciendo que cuando $n=5$, entonces los valores propios son $8,3,3,3,3,0,0,0,0,0$ e al $n=6$ son $10,4,4,4,4,4,0,0,0,0,0,0,0,0,0$. Al $n=7$ son $12,5,5,5,5,5,5,0,\ldots,0$ ($21$ de ellos). Aquí uno puede adivinar que el mayor autovalor es $2(n-1)$ y la próxima $n-1$ de ellos se $n-2$, y claramente el resto tiene que ser $0$. La suma de los autovalores entonces serían $n(n-1)$.
P. S.: me han confirmado que mi conjetura acerca de los autovalores.
