En $f'(x) = f(\ln(x))$ ¿tiene una solución fácilmente expresable?

Question

Esto está motivado por esta pregunta donde podemos considerar un límite de la forma $f((n+1)!) - f(n!) \le 2f(n)$ . Para encontrar una función con una tasa de crecimiento similar, me pregunto si existe una técnica para resolver ecuaciones diferenciales de la forma $$f'(x) = f(\ln(x))$$ o de forma equivalente $$f'(e^y) = f(y).$$

Answer 1

Estoy trabajando sobre los reales. Creo que tu función sería muy complicada si existe. Ciertamente no sería suave. Para ver eso, considera la segunda derivada de $f$ por ejemplo. $$ f^{\prime\prime}(x) = f^\prime(\ln x)/x = f(\ln\ln x)/x\,. $$ Una mayor diferenciación producirá un término en la expresión de $f^{(n)}(x)$ que implican $n$ logaritmos iterados de $x$ . Para cualquier $x$ En el caso de los logaritmos, un cierto número de logaritmos será "demasiado" y dará lugar a tomar el logaritmo de un número negativo. Así, para cualquier $x$ podemos encontrar $n$ de manera que el $n$ derivada de $f$ no existe, y por lo tanto $f$ no podría ser suave, o incluso $C^n$ .

Answer 2

Entonces, lo normal no sería esto...
Definir $f$ arbitrariamente en $[1,e]$ , entonces para $x>e$ definir $$ f(x) = f(e) + \int_e^x f'(t)\,dt = f(e)+\int_e^x f(\log t)\,dt , $$ y para $y<1$ definir $f(y) = f'(e^y)$ . El problema entonces es hacer que coincida en los puntos finales.