¿Secuencia de Cauchy de subconjuntos disjuntos y cerrados convergen a un no-conjunto vacío en un espacio de Banach?

Question

Supongamos, $X$ es un espacio de banach. Para cualquier $x,y \in X$, definimos $d(x,y) = |x-y|$, Para cualquier $A, B \subseteq X$ definimos:

$$d(A, B) = \inf_{x \in A, y\in B}{d(x,y)}$$

Decir,$(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy de la desunión y cerró los subconjuntos de a$X$. Decimos que:

$$K = \{x \in X: \lim_{n \to \infty}d(\{x\}, K_n) = 0\}$$ is the limit of $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Es $K$ necesariamente no-vacío?

Agregado: Gracias a todos por sus ejemplos y correcciones. Mi ingenuo intento de encontrar una condición más fuerte que la secuencial integridad. Espero que funcione mediante la adición de "discontinuo y cerrado".

Answer 1

Tomando mi comentario, ajustando a hacer cerrados y disjuntos. En el avión, vamos a $A_0, A_1, A_2$ ser los tres lados de un triángulo equilátero, todos de la longitud de la $1$. Ellos están cerrados, pero no distintos. Definir la secuencia de $K_n$ como sigue: Si $n=3m$, vamos a $K_n$ $A_0$ mueve radialmente hacia afuera por la distancia $1/n$. Si $n=3m+1$, vamos a $K_n$ $A_1$ mueve radialmente hacia afuera por la distancia $1/n$. Si $n=3m+2$, vamos a $K_n$ $A_2$ mueve radialmente hacia afuera por la distancia $1/n$. Entonces esta es una secuencia de Cauchy, $d(K_i,K_j) \le 1/i+1/j$, pero su "límite" está vacía.

Answer 2

Deje $\Omega \subset \mathbb{R}$ ser una contables conjunto. Deje $\epsilon >0$. Debe quedar claro que podemos elegir un aumento de la secuencia de $x_1,x_2,...$ tal que $x_{k+1}-x_k \in (\frac{\epsilon}{2},\epsilon)$, e $x_k \notin \Omega$ todos los $k$. La secuencia es, por supuesto, contables, y también cerrado desde todos los puntos son aislados. Además, debemos tener $\lim_k x_k = \infty$.

Por consiguiente, podemos crear una colección de secuencias de $k \to x_k^n$ tal que $x_{k+1}^n-x_k^n \in (\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^{n}})$ tal que $\{x_k^n\}_k \cap \{x_k^m\}_k = \emptyset$ siempre $n \neq m$.

Ahora vamos a $K_n = \{x_k^n\}_k \cap [n,\infty)$. A continuación, $K_n$ está cerrada y los conjuntos de $\{K_n\}_n$ son pares distintos. Por construcción, no ha $d(K_n,K_m) \leq \frac{1}{2^{\min(n,m)}}$, por lo que, presumiblemente, es es de Cauchy'. Sin embargo, también debe quedar claro que $K = \emptyset$.