Derivado de la mentira de la curvatura

Question

Que $M$ sea un múltiple de Kähler con Kähler métrica $g$. Que $X$ sea un foliaciones matanza vector campo de $g$, es decir, $\mathcal{L}_{X} g = 0$, donde $\mathcal{L}_{X}$ es el derivado de la mentira a lo largo de $X$. Que $R$ sea el tensor de curvatura de Riemann de $g$. ¿Es $\mathcal{L}_{X} R = 0$?

Answer 1

True. $X$ es matanza, $\mathcal{L}_{X} g = 0$, iff su caudal, decir $\phi_t$, es de isometries, es decir $\phi_t^*g=g$ % todos $t$. El tensor de curvatura de Riemann está naturalmente asociado a la métrica, por lo tanto, $\phi_t^*R=R$ % todos $t$. Tomando el derivado wrt $t$ de ambos lados de la última ecuación da $\mathcal{L}_{X} g = 0$. Tenga en cuenta que la estructura de Kahler no desempeña ningún papel.