Deje $1, \omega, \dots, \omega^{n-1}$ ser las raíces de la ecuación de $z^n-1=0$, de forma que las raíces de forma regular $n$-gon en el plano complejo. Quiero calcular $$ \prod_{j \ne k} (\omega^j - \omega^k)$$
donde el producto se ejecuta sobre todos los $j \ne k$$0 \le j,k < n$.
Mi intento hasta ahora
Tomando nota de que si $k-j = d$$\omega^j - \omega^k = \omega^j(1-\omega^d)$, puedo volver a escribir el producto como $$ \prod_{d=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \omega^{n(n-1)/2}(1-\omega^d)^n$$
Pensé que esto sería útil, pero no me llevó a ninguna parte.
Alternativamente, yo podría aprovechar la simetría $\overline{1-\omega^d} = 1-\omega^{n-d}$, de alguna manera, de modo que los términos en el producto son de la forma $|1-\omega^d|^2$. He probado este y terminó con un producto que parecía $$\prod_{j=0}^{n-1} |1 - \omega^j|^n $$
(con torpe multiplicativo poderes de $-1$ a la izquierda). Este parece ser útil, pero al calcular explícitamente está resultando más difícil de lo que yo había pensado.
La respuesta que estoy esperando encontrar algo parecido a $n^n$.
Mi motivación viene de la teoría de Galois. Estoy tratando de calcular el discriminante del polinomio $X^n+pX+q$. Sé que debe ser de la forma $ap^n+bq^{n-1}$ algunos $a,b \in \mathbb{Z}$, y poner $p=0,q=-1$, el polinomio se convierte en $X^n-1$. Esto tiene raíces $1, \omega, \dots, \omega^{n-1}$, por lo que el $(-1)^{n-1}b$ es (un múltiplo de) el producto que ves arriba. Una expresión para $a$ puede ser encontrado de forma similar al ajuste de $p=-1,q=0$.
