Considere la acción de $P$ en $E$ definido por $g*x=gxg^{-1}$ para $g\in P$ y $x\in E$ . Esto está bien definido, ya que la propiedad de ser $p$ -regular es claramente preservado por isomorfismos de grupo. El conjunto de puntos fijos bajo esta acción (es decir, los elementos de $E$ que queda fijada por todos los elementos de $P$ ) es $C\cap E$ por la propia definición del centralizador.
La prueba se completa con lo siguiente
Lema : Dejemos que $P$ ser un $p$ -que actúa sobre un conjunto finito $E$ . Sea $E^P$ sea el conjunto de puntos fijos bajo esta acción. Entonces $$|E|\equiv|E^P|\text{ mod }p.$$
Prueba: Tenemos que demostrar que el orden de $E\backslash E^P$ es un múltiplo de $p$ . Por definición, $E^P$ es la unión de las órbitas de un punto de la acción. Por tanto, el orden de $E\backslash E^P$ es la suma de los órdenes orbitales $>1$ . Por el teorema del estabilizador de la órbita, el orden de una órbita divide el orden de $P$ . Desde $P$ es un $p$ -se deduce que los órdenes orbitales $>1$ tienen que ser múltiplos de $p$ . Así que el orden de $E\backslash E^P$ es la suma de los múltiplos de $p$ y, por lo tanto, es un múltiplo de $p$ .
