Sé que la forma del operador de $1/P_x$ ($P_x$ es el componente $x$ del operador de momentum $\mathbf{P}$) debe tener una forma integral como: $$\frac{i}{\hbar}\int\,dx,$ $ pero no estoy seguro acerca de los límites de la integral. Cualquier ayuda sería apreciada.
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Nick
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El operador $$\frac{1}{P_x}$$ produce una divergente resultado si se actúa sobre una función de onda con $P_x=0$ (el eigenstate con este autovalor se parece a una función constante de $x$). Las superposiciones de una $P_x=0$ estados con los estados propios asociados con valores distintos de cero de a $P_x$ todavía están en singular.
Es por eso que una bien definida resultado de $(1/P_x)|\psi\rangle$ es obtenida únicamente si $|\psi\rangle$ no contiene $P_x=0$ aditivo en la superposición. Pero eso es el equivalente a $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \,\psi(x) = 0$$ El lado izquierdo es nada más que el $P_x=0$ componente de Fourier. Por ese motivo, las recetas $$[\frac{1}{P_x} \psi] (x) \leftrightarrow \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^x dx'\,\psi(x') $$ y $$[\frac{1}{P_x}\psi](x) \leftrightarrow -\frac{i}{\hbar}\int_{x}^\infty dx'\,\psi(x') $$ producen el mismo resultado.
Si usted quería generalizar la acción de un operador $1/P_x$ sobre una función de onda que contiene un $P_x=0$ pieza, entonces usted tendría que decidir si te refieres al "valor principal" de $1/P_x$ o $1/(P_x+i\epsilon)$ o algo más. Este extra de refinamiento podría hacer que el operador bien definida para un conjunto más amplio de funciones de prueba de $\psi(x)$.
travel101
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123
Una forma de tratar la mecánica Cuántica es que la escritura de los operadores en términos de matrices.
Uno puede pensar de los operadores $\hat{X}$, $\hat{P_x}$ y $\hat{P_x}^{-1}$ en términos de la matriz de la mecánica cuántica. En el $|x \rangle$ base (donde $\hat{X} |x \rangle=x|x \rangle$), podemos discretizar el espacio, en general constante como una unidad de espacio y de escritura de los operadores como
$$\hat{X}=a{\begin{pmatrix} \ddots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \ddots \\ \end{pmatrix}}$$
$$\hat{P_x}=-i \manejadores \partial_X=i \manejadores un^{-1}{\begin{pmatrix} \ddots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0&0\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0&0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0&0\\ 0 & 0 & 1& 0 & -1 & 0&0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0&-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \ddots \\ \end{pmatrix}}$$
De fácil comprobación $$[\hat{X},\hat{P_x}]=i\hbar$$
Por lo tanto, $$\frac{1}{\hat{P_x}}=\hat{P_x}^{-1}$$
Por lo tanto, $\frac{1}{\hat{P_x}}=\hat{P_x}^{-1}$ es simplemente la inversa de la matriz de $\hat{P_x}$. Puede ser necesario considerar dos casos: periódico de las condiciones de contorno en una 1D círculo de $S^1$ o un infinito tamaño de 1D sistema. Trata de dos casos por separado.
