Anillo de la teoría siempre está al acecho, más o menos visibles en topología algebraica. Como tu pregunta es muy amplia, voy a tratar de dar una visión rápida con un par de referencias. Desde el álgebra homológica tiene lugar a menudo a través de R-módulos o puede ser reducido a este caso de alguna manera, podría ser un poco difícil definir lo que significa "álgebra homológica de los anillos". Sin embargo, aquí están algunos ejemplos que creo que se ajuste a su descripción:
La homología de Hochschild de una $R-R$-bimodule refleja algunos de anillo de la teoría de la materia. Por ejemplo, $H_1(R,R)$ $k$- álgebra $R$ es el módulo de diferenciales $\Omega_{R/k}$. Si $\mathbb{Q}\subseteq R$, entonces no es una expresión algebraica de la descomposición de esta homología que es análoga a la descomposición de Hodge en el complejo colector de la teoría.
Tomando el ejemplo anterior, si $k$ es un anillo y $X$ un conjunto simplicial, la homología cíclica (homología de Hochschild teniendo en cuenta un ciclo de acción en el correspondiente conjunto simplicial) de la simplicial módulo de $k[X]$ es el mismo que el $S^1$-equivariant la homología de la geométrica realización de $X$ con coeficientes en $k$.
(Hochschild y cíclico de homología están relacionados con la $K$-la teoría y la Mentira de álgebra de la matriz de álgebras así. Para los ejemplos anteriores, consulte el Capítulo 9 de Weibel del libro "Una Introducción al Álgebra Homológica" y todos los de Loday del libro "Homología Cíclica")
Como se ha mencionado en los comentarios, $K$-la teoría es como la homología de los anillos. Por otra parte, la topología algebraica está claramente interesado en el vector haces; en un agradable espacio de $X$ la categoría de rango $n$ real vector de paquetes en $X$ es equivalente a la categoría de rango $n$ finitely generado proyectivas de los módulos a través de las funciones continuas $C(X,\mathbb{R})$. El grupo $K_0(C(X))$ es el grupo de Grothendieck de las clases de isomorfismo de fg projectives.
$K$-teoría, por supuesto, tiene sus raíces y muchas aplicaciones a la topología algebraica y la geometría algebraica. Abundantes ejemplos se pueden encontrar en "El Manual de $K$-Teoría" (http://www.math.uiuc.edu/K-theory/handbook/)
(De hecho, el mayor $K$-grupos de un anillo de $R$ puede ser definida como la homotopy grupos de un simplicial resolución asociada a $R$; simplicial resoluciones son como los complejos de la cadena en un abelian categoría, y, de hecho, para abelian categorías no negativo de los complejos de la cadena y simplicial conjuntos coinciden. Así que realmente es como una homología de los anillos, en vez de hacer abelian álgebra homológica en la categoría de módulos.)
