¿Aproximación del primer derivado?

Question

Encuentra la mejor aproximación al primer derivado de $f(x)$ basado en los valores de $f(x), f(x+h), f(x+2h)$ . ¿Cuál es la precisión de esta aproximación?

Estaba pensando en usar una aproximación de diferencia central (porque es una aproximación de segundo orden) pero no estoy seguro de que eso sea correcto.

Answer 1

Personalmente yo usaría $f'(x) \approx \dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}$ para los pequeños $h$ pero eso puede estar más cerca de $f'(x+ \frac {h}{2})$ .

Así que si tienes una aproximación razonable a ambos $f'(x+ \frac {3h}{2})$ y $f'(x+ \frac {h}{2})$ y si crees que funcionas es bastante suave (en el sentido de una segunda derivada casi constante en el rango $[x,x+2h]$ ) entonces podrías reducir la estimación anterior a la mitad de la diferencia entre esas dos, dando $$f'(x) \approx f'(x+ \tfrac {h}{2}) - \frac {1}{2} \left (f'(x+ \tfrac {3h}{2}) -f'(x+ \tfrac {h}{2}) \right ) $$ y $$ \frac {f(x+h)-f(x)}{h} - \frac {1}{2} \left ( \tfrac {f(x+2h)-f(x+h)}{h} - \tfrac {f(x+h)-f(x)}{h} \right ) = \frac {4f(x+h)-3f(x)- f(x+2h)}{2h}. $$

De hecho, esta es la única estimación que da resultados correctos para las funciones cuadráticas y cualquier $h$ .

Answer 2

De la serie de Taylor, $f(x+h) = f(x) + h f'(x) + h^2 f''(x)/2 +O(h^3)$ y $f(x-h) = f(x) - hf'(x) + h^2 f''(x)/2+O(h^3)$ .

La única combinación que se deshace de la $f''(x)$ El término es $ \frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f'(x) + O(h^2)$ .

Answer 3

Aquí hay una ligera elaboración de mi comentario a la respuesta de Henry: considera la expansión de la serie

$$ \frac {f(x+h)-f(x)}{h}=f^ \prime (x)+ \frac {f^{ \prime\prime }(x)}{2}h+ \frac {f^{(3)}(x)}{6}h^2+ \cdots $$

De esto, obtenemos la expansión de doble paso

$$ \frac {f(x+2h)-f(x)}{2h}=f^ \prime (x)+f^{ \prime\prime }(x)h+ \frac {2f^{(3)}(x)}{3}h^2+ \cdots $$

La extrapolación de Richardson aquí consiste en encontrar una combinación lineal de las dos expansiones anteriores que elimina la $h$ término; encontramos que

$$2 \frac {f(x+h)-f(x)}{h}- \frac {f(x+2h)-f(x)}{2h}=f^ \prime (x)- \frac {f^{(3)}(x)}{3}h^2+ \cdots $$

y el lado izquierdo, después de la simplificación, es precisamente la última expresión que Henry obtuvo.