Integracion por partes.

Question

Esta es un integral muy sencillo para mí, pero no entiendo cómo mi profesor tiene la respuesta:

$$(-xe^{-x})-e^{-x}+C$$

Aquí está el problema original:

$$\int xe^{-x}dx$$

Aquí están mis pasos para solucionarlo:

$$u=x$$ $$du=dx$$ $$dv=e^{-x}dx$$ $$v=-e^{-x}$$

Por lo tanto reescribir el problema que me sale:

$$(-xe^{-x})- \int -e^{-x}dx$$

Resolver la integral anterior recibo (descomponen en factores hacia fuera el uno negativo para obtener un positivo $e^{-x}$):

$$(-xe^{-x})+e^{-x}+C$$

¿Solucionarlo correctamente?

Answer 1

Integración de $e^{-x}$ da $-e^{-x}$. Te estás perdiendo un signo menos en la etapa final.

Answer 2

$$\int xe^{-x}dx$$

$\displaystyle u=x\Rightarrow du=dx, dv=e^{-x}dx\Rightarrow v=-e^{-x}$. Por lo tanto reescribir el problema que obtenemos:

$$\int xe^{-x}dx=(-xe^{-x})+ \int e^{-x}dx=(-xe^{-x})-e^{-x}+C $$

Answer 3

máximos de confirma la solución de tu profesor

(%i1) diff((-x*exp(-x))-exp(-x)+C,x);
                                        - x
(%o1)                               x %e

El primer paso es aceptar.

(%i2) diff((-x*exp(-x))-integrate(-exp(-x),x),x);
                                      - x
(%o2)                               x %e

El resultado final es malo

(%i3) diff((-x*exp(-x))+exp(-x)+C,x);
                                   - x       - x
(%o3)                          x %e    - 2 %e