Explicame "homotopía"

Question

He estado luchando con la topología general y ahora, topología algebraica es simplemente un asesinato. Algunas personas parecen tener sobre el bien, pero yo no soy uno de ellos, lamentablemente.

Por favor, una respuesta que yo necesito es algo muy elaborado y extenso, posiblemente con fácil-a-entender los ejemplos. La reescritura de las definiciones concretas de lenguaje y los símbolos matemáticos no ayuda(los que son fácilmente accesibles en mis notas de la conferencia). Quiero una explicación de lo que está sucediendo y que parte de los sólidos de las definiciones que me están diciendo.

Una cosa que me gustaría dejar claro es, que yo sepa las definiciones que yo no entiendo , lo puede volver a repetir los mismos a la solicitud, consultar mis notas de la conferencia. Problema es que estoy escribiendo algo que yo no sé lo que significa. Es como escribir en griego antiguo. Recuerdo las formas de cada personaje, su orden y escribir alguna frase de abajo. Pero eso es todo. Puedo explicarlo a alguien con mis propias palabras? Romper hacia abajo? Por supuesto que no. Es por eso que estoy aquí para pedirle a alguien que entiende de estas ideas para hacer exactamente eso para mí: romper hacia abajo. Ir en cámara lenta. Me muestran los movimientos y los códigos detrás de él.

He aquí la definición que tengo para homotopy

Un homotopy entre los mapas de $f,g:X \rightarrow Y$ es un mapa de $h: X \times I \rightarrow Y$ tal que

$$h(x,0)=f(x), h(x,1)=g(x) \in Y$$ where $x \in X$ and $I=[0,1]$. We say maps $f,g$ se homotópica.

Añade que,

Un homotopy deforma el mapa de $f$ continuamente a $g$.

Así, me he dado dos conjuntos de $X,Y$ lo son y dos mapas de $f,g$ que toma un elemento de $X$ a un elemento de $Y$. No sé si $f,g$ son bijective, sólo inyectiva o surjective o lo que sea. No hay información sobre eso. Sólo los mapas.

Y este "homotopy" es un ... "mapa entre los mapas"? E incluso si es así, ¿qué exactamente está haciendo? Toda la explicación parece estar hecho con una sola línea

$$h(x,0)=f(x), h(x,1)=g(x) \in Y$$

pero no, no entiendo lo que está pasando. Por lo $X$ tiene un montón de elementos $x$, y el espacio del producto $X \times I$ me da elementos de la forma $\{x,t\} \in X \times I$. Bien. Pero este mapa $h$ califica como un homotopy tan largo como el de arriba tiene? Entonces, ¿por qué no acaba de definir siempre $h$ $h(x,t)=f(x)$ cualquier $t \neq 1$$h(x,t)=g(x)$$t=1$, así como de qué manera podríamos definir una función definida a tramos? Entonces podemos definir este "homotopy" en cualquiera de los mapas.

Seguro, que añade que "deforma $f$ CONTINUAMENTE a $g$" pero, ¿cómo es que se indicó en la definición de sí mismo? Yo lo veo en ninguna parte.

Aquí está un ejemplo en mis notas, que no me ayudan a comprender la definición,

Tome $X=\{x\}$ el espacio con un único elemento $x$. A continuación, un mapa de $f:X \rightarrow Y$ es el mismo y el elemento $f(x) \in Y$. Un homotopy $h: f \simeq g: X \rightarrow Y $ es el mismo que el de un camino de $h: I \rightarrow Y$ con punto inicial $h(0)=f(x)$ y terminal punto de $h(1)=g(x) \in Y$. Un homotopy $h: f \simeq f: X \rightarrow Y$ es el mismo que el de un camino cerrado $h: I \rightarrow Y$.

Bien, en primer lugar, qué es un "camino"? La intuición también no tiene sentido porque cuando la asignación de un elemento a otro, ¿cómo puede haber diferentes "caminos"? $x$ $y$ . Hecho. No es como ir de Inglaterra a Singapur a través de cualquiera de Amsterdam o Frankfurt (por lo tanto, distintas rutas de acceso) es? A menos que sea un mapa de $X \rightarrow Z \rightarrow Y$ y me dice que $x \in X$ $z_1 \in Z$ $y \in Y$ o $z_2 \in Z$ y, a continuación, a $y \in Y$, que puede ser de diferentes rutas de$x$$y$. Pero aquí se está hablando de $X$ $Y$ solamente.

Y ¿por qué esto es ignorar $x$? Dice $h: I \rightarrow Y$? El problema también tengo es, esto es con la etiqueta "ejemplo" pero no es específico. "$h(0)=f(x)$ $h(0)=g(x)$ " . Así? ¿Qué es esto $h$ ¿como ha sido definido? Como un mapa, como una función de algún tipo? Tal vez hay múltiples homotopy pensable, pero entonces, ¿qué son uno o dos de ellos?

Es como decir $f(1)=1$$f(2)=4$. Hecho. Así, para un novato, tal vez los niños de la escuela secundaria, que sería bueno darles un ejemplo es lineal $f(x)=ax+b$ o $f(x)=x^2$. A los ojos de la experiencia, podría tener perfecto sentido, un determinado homotopy podría estallar hacia fuera en sus mentes como las palomitas de maíz, pero no en la mía.

Es una absoluta pesadilla. Sé que esto es un "resumen" de las matemáticas, pero no puede más específicos-ness ser puesto en él? Imágenes y diagramas tal vez?

Esto es sólo la punta de la enorme confusión masiva y mudo fundamento estoy viviendo en esta área de estudio. Tal vez una vez que haga "clic" todo va hacia abajo, como una avalancha, pero hasta ahora no es nada, pero contrario a la intuición.

Por favor alguien puede hacer esto posible para mí para digerir? Sugerencias para la buena páginas web con ejemplos y diagramas y explicaciones extensas también son bienvenidos. Gracias

Answer 1

Imagina un objeto maleable como una banda de caucho que pueden ocupar diferentes formas y configuraciones en el espacio.

Que nos llame la referencia abstracta de goma de la banda de $X$ (independiente de cualquier configuración específica que pueda adoptar en), y llamar el espacio se mueve en $Y$.

Para definir una configuración particular de la banda de goma, uno tendría que especificar donde cada punto en la referencia de la banda de goma existe en el espacio. Es decir, cada configuración posible de la banda de goma en el espacio corresponde a un mapa de$X$$Y$.

Mapas de $f,g:X \rightarrow Y$, a continuación, corresponden a dos diferentes configuraciones de la banda de goma en el espacio.

Mapas de $h:X \times I \rightarrow Y$ corresponden a una secuencia de configuraciones que la banda de goma dura. Para cada punto de $x$ en la referencia de goma de la banda y para todos los tiempos $t$$I$, la ubicación de esa parte de la banda de goma en el espacio en que el tiempo es especificado por $h(x,t)$. Visualizar $h$ como una película de la banda de goma en movimiento y deformación en el espacio a lo largo del tiempo.

Ahora, no hay nada escrito hasta ahora impide que cosas locas que suceda como el mapa de $f$ de los que tomaron la banda de goma y la asignación a un extraño desconectado de polvo o algo así. Del mismo modo, nada esta escrito aun impide que la banda de goma en la película de $h$ a de forma espontánea teletransportarse de un lugar a otro en cada fotograma, o cosas por el estilo. La continuidad supuestos son mínimos supuestos allí para evitar que cosas tan locas.

Tenga en cuenta que, en particular, la continuidad de la suposición de que todavía permite que la banda de goma para pasar a través de sí mismo, o para aplastar de un volumétricas en 3d de la banda a un 2D anillo, siempre y cuando estos procesos se realizan de manera continua. Si uno desea evitar estos casos así, luego de requisitos más estrictos pueden ser usados (por ejemplo, isotopía, donde el marco es el mismo pero los mapas también están obligados a ser inyectiva)

Una pregunta natural es, dados dos continuo configuraciones $f$ $g$ de la banda de goma, es posible moverse continuamente/curva/giro/aplastar uno en el otro a través de una movie $h$? Esto es equivalente a preguntar si existe un homotopy $h$ entre las configuraciones $f$$g$.

Espero que esta ayuda de la intuición.

Answer 2

Me sorprende que nadie presentó un dibujo. Un homotopy (entre caminos) puede ser ingenuamente representado de la siguiente manera.

Supongamos que tenemos un camino de $c_0$ en el espacio. Como este:

Ahora nos movemos alrededor, la indexación de su movimiento en el subíndice. Por ejemplo,

Haciendo de este un proceso continuo, se obtiene una función de $G:I \rightarrow \mathcal{F}(I, Y); \quad s \mapsto c_s$, lo que induce de manera clara, una función de $F: I \times I \rightarrow Y$$(s,t) \mapsto c_s(t)$.

Un homotopy entre los mapas no es simplemente limitarnos a las rutas. Consideramos que los mapas que queremos deformar a ser los mapas de $f: X \rightarrow Y$, y obtenemos una función de $G: I \rightarrow \mathcal{F}(X, Y)$, lo que induce $F:X \times I \rightarrow Y$ en el mismo camino.

Answer 3

Me solidarizo con tu situación - también he sufrido mucho con la topología algebraica. Voy a tratar de ayudarle a responder a preguntas específicas.

Así, me he dado dos conjuntos de $X,Y$ lo son y dos mapas de $f,g$ que toma un elemento de $X$ a un elemento de $Y$. No sé si $f,g$ son bijective, sólo inyectiva o surjective o lo que sea. No hay información sobre eso. Sólo los mapas.

Como estamos en la topología algebraica, se puede asumir con seguridad que el $X$ $Y$ son espacios topológicos, y $f$ $g$ son continuos los mapas. Realmente no tenemos información acerca de injectiveness/surjectiveness de los mapas involucrados. Podemos definir "homotopy" en otros contextos, tales como álgebra lineal, teoría de grupos, etc, demasiado, pero voy a llegar a eso más adelante.

Y este "homotopy" es un ... "mapa entre los mapas"? E incluso si es así, ¿que $exactly$ está haciendo? Toda la explicación parece estar hecho con esta única línea de $$h(x,0)=f(x), h(x,1)=g(x) \in Y$$ pero no, no entiendo lo que está pasando. Por lo $X$ tiene un montón de elementos $x$, y el espacio del producto $X \times I$ me da elementos de la forma $\{x,t\} \in X \times I$. Bien. Pero este mapa $h$ califica como un homotopy tan largo como el de arriba tiene? Entonces, ¿por qué no acaba de definir siempre $h$ $h(x,t)=f(x)$ cualquier $t \neq 1$$h(x,t)=g(x)$$t=1$, así como de qué manera podríamos definir una función definida a tramos? Entonces podemos definir este "homotopy" en la $any$ mapas.

Si definimos $h$ como se dijo anteriormente, lo más probable es que no va a ser continua en los pares de $(x,1)$, tenemos un "salto" en $t$ cerca de eso. Me imagino que el profesor probablemente dijo algo a lo largo de las líneas de "en este curso, a menos que se indique lo contrario, todos los mapas serán continuos". Por lo que no es cierto que no es un homotopy entre los mapas.

Voy a dar tres ejemplos de homotopies y, a continuación, tratar de dar una idea general:

• Deje $f,g\colon X \to \Bbb S^2$ ser continua mapas que $f(x) \neq -g(x)$ todos los $x \in \Bbb S^2$ donde $X$ es cualquier espacio topológico. Definir $h\colon X \times I \to \Bbb S^2$ por $$h(x,t) = \frac{(1-t)f(x)+tg(x)}{\|(1-t)f(x)+tg(x)\|}.$$We are not dividing by zero because of the $f(x) \neq -g(x)$ part (the problem would be for $t = 1/2$). Check that this is a homotopy to get the feeling for the computations (i.e., $h(x,0) = f(x)$, $h(x,1) = g(x)$, and $h$ es continua).

• Deje $f\colon \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ ser un mapa continuo. A continuación, $h\colon \Bbb R^n \times I \to \Bbb R^n$ $h(x,t) = tx + (1-t)f(x)$ es un homotopy entre el $f$ y la identidad de la función (comprobar que, igual que el anterior).

• Deje $f\colon \Bbb R^n \to \Bbb R^k$ ser un continuo y mapas. A continuación, $h\colon \Bbb R^n \times I \to \Bbb R^k$ $h(x,t) = tf(x)$ es un homotopy entre el $f$ y el cero mapa.

Un homotopy es un mapa entre los mapas en el siguiente sentido: fix $f,g\colon X \to Y$ continuo de los mapas, y $h\colon X \times I \to Y$ el homotopy. Podemos ver $h$ como el mapa que lleva a $t \in I$ $h_t \in {\cal C}(X,Y)$donde $h_t$ está definido por $h_t(x) = h(x,t)$. Va un poco por delante, vamos a decir que una ruta de acceso en un espacio topológico es un mapa definido en $I$ toma valores en el espacio. A continuación, la interpretación ve $h$ como un camino de ${\cal C}(X,Y)$, conectando a $f$$g$, ya que el $h_0 = f$$h_1 = g$, como funciones.

Un "doble" la interpretación es visto a través de la fijación $x$, y viendo a $h$ como el mapa que lleva a $x \in X$ a la mapa $h_x \in {\cal C}(I,Y)$, dado por $h_x(t) = h(x,t)$. A continuación, para cada fijos $x$, $h_x$ es un camino en el $Y$, conectando a $f(x)$$g(x)$.

Aquí están algunas notas desde donde tomé el curso (en portugués, pero quiero una imagen específica) - en la primera página, hay una plaza con $f$ en la parte inferior, $g$ en la parte superior, en el lado izquierdo de la etiqueta $I$, etc. Los mapas de $h_t$ son constantes en líneas horizontales, y el $h_x$ son constantes en líneas verticales, tratar de pensar un poco sobre eso.

Seguro, que añade que "deforma $f$ CONTINUAMENTE a $g$" pero, ¿cómo es que se indicó en la definición de sí mismo? Yo lo veo en ninguna parte.

Decir que la deformación es continua es sólo una jerga para decir que $h\colon X \times I \to Y$ es continua (considere que el producto de la topología en $X \times I$ aquí). Si el profesor hizo la observación de todos los mapas continua que se indique lo contrario, como he especulado anteriormente, entonces creo que este problema es resuelto.

Bien, en primer lugar, qué es un "camino"? La intuición también no tiene sentido porque cuando la asignación de un elemento a otro, ¿cómo puede haber diferentes "caminos"? $x$ $y$ . Hecho. No es como ir de Inglaterra a Singapur a través de cualquiera de Amsterdam o Frankfurt (por lo tanto, distintas rutas de acceso) es? A menos que sea un mapa de $X \rightarrow Z \rightarrow Y$ y me dice que $x \in X$ $z_1 \in Z$ $y \in Y$ o $z_2 \in Z$ y, a continuación, a $y \in Y$, que puede ser de diferentes rutas de$x$$y$. Pero aquí se está hablando de $X$ $Y$ solamente.

Como me corrió antes: un camino en un espacio topológico $X$, conectando a $x$$y$$X$, es un continuo mapas de $\gamma\colon I \to X$ tal que $\gamma(0) = x$$\gamma(1)=y$. Es posible que, dada $x,y \in X$, hay más de un camino que los conecta, o que no hay ninguna ruta de acceso de la conexión de ellos, en absoluto. Dado continua mapas de $f,g$ entre espacios topológicos, no puede ser más de uno homotopy entre ellos, o no homotopy a todos.

En topología general, usted debe ha cumplido con el concepto de "conectado espacio". Diremos que un espacio topológico es "ruta de acceso conectados" si cualquiera de los dos puntos pueden ser conectados por (al menos) una ruta de acceso. Cada trayectoria-conectado espacio está conectado, el recíproco es falso. La idea de la topología algebraica, en un primer momento, es distinguir espacios topológicos (modulo homeomorphism) por invariantes topológicos - y el foco está en la conexión/ruta-conectividad, y uno de los instrumentos más útiles para hacer que depende de homotopies.

Ejemplos concretos de las rutas:

• dados dos puntos en $\Bbb R^2$, podemos unirse a ellos por una línea recta o por una media circunferencia, etc.

• si $X = [0,1] \cup [2,3]$, y si $x \in [0,1]$, $y \in [2,3]$, no hay ningún camino continuo entre el $x$ $y$ - por el teorema del valor intermedio, un camino de $\gamma$ tendrían que asumir el valor de, digamos, $1.5$, que no es en $X$ (el problema es que la ruta pasa fuera de $X$, y no queremos eso).

• En $\Bbb S^1 = \{e^{it} \mid t \in \Bbb R\}$, si tomamos $x = e^{it_0}$$y = e^{it_1}$, $\gamma\colon I \to \Bbb S^1$ $\gamma(t) = e^{i((1-t)t_0+tt_1)}$ verifica $\gamma(0) = x$$\gamma(1) = y$. Esta es una ruta posible entre ellos, yendo en una dirección en el círculo - usted podría ir a otro lado.

Tome $X={x}$ el espacio con un único elemento $x$. A continuación, un mapa de $f:X→Y$ es el mismo y el elemento $f(x)∈Y$. Un homotopy $h:f≃g:X→Y$ es el mismo que el de un camino de $h:I→Y$ con punto inicial $h(0)=f(x)$ y terminal punto de $h(1)=g(x)∈Y$. Un homotopy $h:f≃f:X→Y$ es el mismo que el de un camino cerrado $h:I→Y$.

Esta es la interpretación con $h_x$ que me dio anteriormente, pero ya no sólo es uno de los $x \in X$, han abusado de la notación y escribió $h\colon I \to Y$, donde más precisamente, nos gustaría escribir $h_x\colon I \to Y$.

Espero que esto ayude un poco, incluso. Y usted puede pedir a distancia cosas en los comentarios.

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Extra: homotopies en otros contextos;

• En álgebra lineal: dado espacios vectoriales $V,W$, lineal y mapas de $T,S\colon V \to W$, un homotopy entre el $T$ $S$ es un mapa de $H\colon V \times I \to W$ tal que $H(x,0) = T(x)$, $H(x,1) = S(x)$, y para todos los $t \in I$, los mapas de $H_t(x) = H(x,t)$ es lineal;

• En teoría de grupos: cada uno de los grupos $G,H$, y el grupo de homomorphisms $\varphi, \psi\colon G \to H$, un homotopy entre el $\varphi$ $\psi$ es un mapa de $h\colon G \times I \to H$ tal que $h(x,0) = \varphi(x)$, $h(x,1) = \psi(x)$, y para todos $t \in I$, $h_t(x) = h(x,t)$ es un grupo homomorphism;

Y así sucesivamente. Si sabes un poco de la categoría de la teoría, ver el patrón: queremos un $1$-parámetro de la familia de morfismos de unirse a los iniciales. Para espacios topológicos, $1$- parámetro de la familia de continuo mapas; para espacios vectoriales, $1$- parámetro de la familia de lineales, mapas, etc.

Answer 4

Hay una pedagógico peculiaridad que hace homotopies extremadamente fácil de explicar, y es que se puede (¿debe?) ser pensado como algo que ocurre más de tiempo, y hay más de este maravilloso invento que es un vídeo que de forma muy natural expresa cómo las formas pueden cambiar con el tiempo.

Trate de Regular homotopies en el avión... es una especie de clásico de culto, pero lo recomiendo sin ironía por su pregunta.

Answer 5

Un montón de buenas respuestas ya fueron escritos-yo sólo quería añadir algo que no veo y que me pareció muy, muy útil cuando el primer estudio de este: ¿por qué introducir homotopy en el primer lugar? Como sucede a menudo en mathemathics una vez que usted entienda lo que es la idea detrás de algo, la mathemathical formalismo de repente se convierte fácil y significativa.

Todo este material fue introducido por Poincaré en un solo artículo para el estudio de las superficies. El principal problema aquí (se explica en términos sencillos) es que se quiere entender si dos superficies están en la misma de un topológico punto de vista. Limitémonos por el momento a las superficies para llegar al corazón de la cuestión.

Poincaré estudiado el problema por un tiempo y se entiende que dos superficies se topológicamente equivalentes si hubo dos funciones continuas de una superficie a la otra, respectivamente (es decir, homeomorfic).

Este fue el derecho de condición, pero digamos que no se puede determinar si hay dos funciones continuas entre dos superficies es más que suficiente para decir que no son iguales? De hecho, tal vez es sólo que usted no puede encontrar el derecho de las funciones... así que, ¿qué Poincaré pensar? Bien, vamos a poner una curva en la superficie, es decir, en lugar de considerar la totalidad de la superficie, que nos acaba de considerar las curvas en la superficie.

Lo que pasa es que si hay dos funciones continuas entre las dos superficies no debe ser de dos funciones continuas que se deforman de una curva sobre una superficie en la curva en el otro. Y aquí está la trampa: esto significa que si considero que todo el continuo de las deformaciones de una curva sobre una superficie (la homotopy clase de la curva) este debe corresponder a todo el continuo de las deformaciones de la curva en la otra superficie (es decir, un homotopy clase sobre la otra superficie).

Para Poincaré calcula el homotopy grupo (es decir, el grupo formado por las homotopy clases de las curvas) de una superficie y el homotopy grupo de los otros, y vio que no eran el mismo, él entonces deducir que las dos superficies no podía ser deformado en forma continua, el uno en la otra.

De todas las definiciones que tenemos son sólo la formalización matemática de esta imagen. Y si usted tiene esta foto se puede generalizar el procedimiento para los volúmenes, teniendo en cuenta las deformaciones de las superficies (segunda homotopy grupo), y además con la deformación de los volúmenes de hypervolumes, etc.