Matriz de covarianza para la distribución del proceso Gaussiano y Wishart

Question

Estoy leyendo a través de este documento sobre Generalizada Wishart Procesos (GWP). El papel calcula las covarianzas entre las diferentes variables aleatorias (siguiente Proceso Gaussiano), utilizando el cuadrado de la exponencial de la función de covarianza, es decir, $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$. Se dice entonces que esta matriz de covarianza de la siguiente manera GWP.

Yo solía pensar que una matriz de covarianza calculada a partir lineal de la función de covarianza ($K(x,x') = x^Tx'$), de la siguiente manera Wishart Distribución con parámetros adecuados.

Mi pregunta es, ¿cómo podemos asumir la covarianza para seguir una distribución de Wishart con el cuadrado de la exponencial de la función de covarianza? También, en general, ¿cuál es la condición necesaria para que una función de covarianza para producir un Wishart distribuido matriz de covarianza?

Answer 1

Lo que es mixto es la covarianza de la especificación en términos del espacio ambiente en el que la Gaussiana proceso se define, y la operación que transforma un número finito de dimensiones variable aleatoria Gaussiana para obtener una distribución de Wishart.

Si $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$- dimensiones de Gauss variable aleatoria (un vector columna) con media 0 y matriz de covarianza $\Sigma$, la distribución de $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ es una distribución de Wishart $W_p(\Sigma, 1)$. Tenga en cuenta que $\mathbf{W}$ $p \times p$ matriz. Este es un resultado general acerca de cómo la forma cuadrática $$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$$ transforma una distribución de Gauss a una distribución de Wishart. Para la elección de la positiva definida matriz de covarianza $\Sigma$. Si usted me tiene.yo.d. observaciones $\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$ $\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$ la distribución de los $$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$$ es un Wishart $W_p(\Sigma, n)$-distribución. Dividiendo por $n$ tenemos empírica de la matriz de covarianza $-$ una estimación de $\Sigma$.

Para Gaussiano procesos hay un ambiente de espacio, digamos que para la ilustración de que el es $\mathbb{R}$, de tal manera que las variables aleatorias consideradas son indexados por los elementos en el espacio ambiente. Es decir, consideramos que un proceso de $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$. Es Gaussiano (y para simplificar, aquí, con una media de 0) si su finito dimensionales distribuciones marginales son de Gauss, es decir, si $$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$$ para todos los $x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$. La elección de la función de covarianza, como se mencionó en el OP, determina la matriz de covarianza, que es, $$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$$ Dejando de lado la opción de $K$ la distribución de los $$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$$ será un Wishart $W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$-distribución.