Que $f(x)=\frac{f(x+e)+f(x-e)}2$. Que $f$ es afín

Question

Que $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, continuo y satisfaciendo todos $x\in (a,b)$ existe $e>0$ tal que % $ $$f(x)=\frac{f(x+e)+f(x-e)}2$

Que $f$ es afín

$f$ es continua en $[a,b]$ entonces yo sé que $f$ es limitada,

He intentado usar $(\varepsilon,\eta$) método para ver algo, pero no tuvo éxito.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Deje $$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.$$ A continuación, $g$ también es continua y $f(x)=\frac{f(x+e)+f(x-e)}{2}$ implica $g(x)=\frac{g(x+e)+g(x-e)}{2}$. Tenemos $g(a)=g(b)$. Deje $M=\sup\{\,g(x)\mid x\in[a,b]\,\}$$A=\{\,x\in[a,b]\mid g(x)=M\,\}$. A continuación, $A$ no vacío (porque $g$ es continua). Deje $c=\inf A$. A continuación, $g(c)=M$ por la continuidad. Si $c\in (a,b)$ existe $e>0$$g(c)=\frac{g(c+e)+g(c-e)}{2}$. Pero, a continuación, $g(c-e)=2g(c)-g(c+e)\ge 2M-M=M$ y, por tanto, $g(c-e)=M$ $c-e\in A$ contradicitng la elección de $c$. Por lo tanto, $c=a$ o $c=b$ y, en cualquier caso, $M=g(a)=g(b)$ y, por tanto, $g(x)\le g(a)$ todos los $x\in[a,b]$. El mismo argumento funciona con el mínimo lugar de máxima, mostrando el $g(x)\ge g(a)$ todos los $x\in[a,b]$. Llegamos a la conclusión de que $g$ es constante, por lo tanto $f$ es afín.