¿Cómo sumar esta serie $\pi/2$ directamente?

Question

La suma de la serie $$ \frac{\pi}{2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}\la etiqueta{1} $$ pueden ser derivados por la aceleración de la Gregorio de la Serie $$ \frac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}\etiqueta{2} $$ el uso de Euler de la Serie de Transformación. Mathematica es capaz de suma $(1)$, así que yo supongo que debe haber algún método de la suma de la serie en $(1)$ directamente, lo que podría ese método?

Answer 1

Primero, $$(2k+1)!! = (2k+1)(2k-1) \cdots (1) = \frac{(2k+1)!}{(2k)(2(k-1)) \cdots 2(1)} = \frac{(2k+1)!}{2^k k!}.$ $

Por lo que su suma puede ser reescrita como

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{k! \, k! \, 2^k }{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{(2k+1)\binom{2k}{k}}.$$

Variaciones de la suma de los recíprocos de los coeficientes binomiales central han sido bien estudiadas. Por ejemplo, este documento de Sprugnoli (véase Teorema 2.4) da la función de generación ordinaria de $a_k = \frac{4^k}{(2k+1)}\binom{2k}{k}^{-1}$ $$A(t) = \frac{1}{t} \sqrt{\frac{t}{1-t}} \arctan \sqrt{\frac{t}{1-t}}.$ $ de ser

Sustituía en $t = 1/2$ dice %#% $ #%

Answer 2

Podemos demostrar esta identidad, así como las identidades correspondientes de la serie de energía mediante el uso de una relación con la función Beta. Reorganizar como hecho en la respuesta de Mike Spivey estamos buscando a $$ \sum_{k=0}^\infty\frac{k! k! 2^k}{(2k+1)!}$$ Using induction or a Beta Function identity, we can show that $% $ $\int_0^1 x^{k}(1-x)^k=\frac{k!k!}{(2k+1)!}.$por lo tanto, su suma se convierte en

$$ \sum_{k=0}^\infty 2^k \int_0^1 x^{k}(1-x)^k=\int_0^1 \left(\sum_{k=0}^\infty 2^k x^k (1-x)^k\right)dx.$$

Aviso que desde $0\leq x\leq 1$ $x(1-x)\leq \frac{1}{4}$ y la serie converge absolutamente. Da la suma

$$=\int_0^1 \frac{1}{1-2x(1-x)}dx=\int_0^1 \frac{1}{x^2+(1-x)^2}dx$$ Substituting $u=\frac{1}{x}$, and then $v=u-1$, we see that this integral is equal to $$\int_1^\infty \frac{1}{1+(u-1)^2}du=\int_0^\infty \frac{1}{1+v^2}dv=\frac{\pi}{2},$$ como se desee.

Answer 3

Yo tenía la intención de que este sea un comentario a Mike spivey se la respuesta, pero es demasiado largo.

Una de las respuestas a la pregunta relacionada con la menciona un resultado equivalente a $$ \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2k+1}(x)\;\mathrm{d}x=\frac{2k}{2k+1}\frac{2k-2}{2k-1}\cdots\frac{2}{3}=\frac{1}{2k+1}\frac{4^k}{\binom{2k}{k}}\tag{1} $$ El uso de $(1)$, mi suma se convierte en $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!} &=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{(2k+1)\binom{2k}{k}}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{2}\left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{2}}\right)^{2k+1}\mathrm{d}x\\ &=\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{2}}\right)}{1-\left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{2}}\right)^2}\;\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{2\,\sin(x)}{2-\sin^2(x)}\;\mathrm{d}x\\ &=\int_\frac{\pi}{2}^0\frac{2\;\mathrm{d}\cos(x)}{1+\cos^2(x)}\\ &=\frac{\pi}{2} \end{align} $$

Answer 4

Observe que $c_k = \frac{k!}{(2k+1)!!}$ el cociente de términos sucesivos $\frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{k+1}{2k +3} = \frac{1}{2} \frac{k+1}{k+3/2}$.

Esto significa que la serie hipergeométrica con el valor ${}_2 F_1(1, 1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.

Este particular hipergeométrica de Gaussianos es elemental: $$ {}} _2 F_1 (1, 1, \frac{3}{2}, x) = \frac{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)} {\sqrt {1-x} \sqrt{x}} $$ En sustitución de $x=\frac{1}{2}$ recuperamos el resultado $ 2 \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{2}$.