Prueba de cálculo vectorial: $\oint_K \nabla f\cdot \vec n\,ds$ tiene dos valores posibles

Question

Estoy revisando el último capítulo de mi Cálculo universitario (2ª edición) de Hass, Weir y Thomas. Me encontré con el siguiente problema (no es una tarea), con el que he tenido algunas dificultades.

Dejemos que $K$ sea una curva cerrada simple y suave arbitraria en el plano que no pase por $(0, 0)$ . Utilice el Teorema de Green para demostrar que $$\oint_K \nabla f\cdot \vec n\,ds$$ tiene dos valores posibles, dependiendo de si $(0, 0)$ se encuentra en el interior $K$ o fuera $K$ .

Problema 15.4.39b, página 869

No quiero ver la respuesta completa, pero me gustaría que me orientaran sobre el camino que debo seguir.

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Esto es lo que he hecho:

Dejemos que $K$ sea una curva cerrada simple y suave arbitraria en el plano que no pase por $(0, 0)$ . Sea $D$ sea la región delimitada por $K$ .

Dejemos que $f(x, y)$ sea una función con continuidad $2^\text{nd}$ derivadas parciales en $D$ .
(Pregunta: ¿es necesario especificar que $f$ tiene segundas derivadas parciales continuas? Creo que sí, para cumplir los requisitos del Teorema de Green...)

Entonces: $$\begin{align} \oint_K \nabla f\cdot \vec n\,ds &= \iint_D \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\right]\, dA \\ &= \iint_D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\, dA \\ \end{align}$$

En este punto, sé que el integrando es el lado derecho de la ecuación de Laplace, pero no veo cómo se aplica. También sé que es la divergencia de $\nabla f$ pero tampoco veo cómo se aplica eso.

¿Podría tener un empujón\/push en la dirección correcta? :)

Answer 1

Creo que se pretende utilizar $f$ de la parte (a), $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$ .

1. Si $K$ no contiene el origen, se puede aplicar el teorema de Green.

2. Si $K$ contiene el origen, también contiene un pequeño círculo $C$ centrado en el origen. Utiliza el teorema de Green para deformar $K$ a $C$ y luego utilizar el resultado de (a).

Answer 2

Una nota al margen de la respuesta de oen:

El potencial favorito de todos los tiempos en la respuesta de oen es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en $\mathbb{R}^2$ , es decir, y $\Delta \phi = 2\pi \delta_{(0,0)}(x,y)$ , donde $\delta $ es el delta de Dirac en el origen: $$ \phi = \ln\sqrt{x^2+y^2}. $$

El gradiente de $\phi$ arriba es $$ \nabla \phi = \left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right), $$ si se gira por $\pi/2$ en sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos el gradiente del segundo potencial favorito de todos los tiempos, el ángulo polar, $\theta = \arctan(y/x)+C$ : $$ \nabla \theta = \left(-\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}\right), $$

Y lo hemos hecho: $$ \oint_K \nabla\phi \cdot \mathbf{n}\,ds = \oint_K \nabla \theta\cdot d\mathbf{r}, \tag{$ \N - La estrella $} $$ donde $d\mathbf{r} = (dx,dy)$ es una parametrización vectorial de la curva $K$ El primer paso es calcular el flujo de $\nabla \phi$ saliendo de la región esta curva cerrada $K$ acotada, la segunda es calcular el trabajo del campo de flujo $\nabla \theta$ realizado sobre una partícula de masa unitaria, cuando esta partícula es conducida por este campo girando alrededor de $K$ para una vez .

Ahora $(\star)$ en $2\pi$ le permitirá obtener el número de bobinado si $K$ se está "enrollando" alrededor de $(0,0)$ . Ahora la curva es simple, el número de bobinado es $\pm 1$ dependiendo de si $K$ gira en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido de las agujas del reloj alrededor de $(0,0)$ . También debo añadir que $1$ y $-1$ no son "los dos valores posibles" que menciona OP en la pregunta, para una curva simple fija $K$ los valores son $0$ y un valor de $\pm 1$ .

Si $K$ no es sencillo, lo que se obtiene sí lo es: $$\oint_K \nabla\phi \cdot \mathbf{n}\,ds = \oint_K \nabla \theta\cdot d\mathbf{r} = 2n\pi, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Pregunta relevante: Teorema de Green y flujo