Teorema de LUSIN afirma que una función mensurable f es casi continua en el sentido de que todos $\epsilon>0$ existe un conjunto S de medir menos de $\epsilon$ tal que f es continuo en el complemento de S.
Estoy buscando un ejemplo de tal función no es continua en el complemento de cualquier medida cero sistema. Por ejemplo, algo así como la función característica de los racionales no, puesto que es continua en el complemento de los racionales, que es un cero.
La función característica de una grasa conjunto de Cantor da un ejemplo (o cualquier conjunto cerrado con medida positiva y vacío interior). Si $C$ es un conjunto, y $A$ es null, entonces $\mathbb{R}\setminus A$ contiene un elemento $x$$C$. En cada barrio de $x$ intersecta $\mathbb{R}\setminus C$ en un conjunto de medida positiva (porque no vacío abrir los conjuntos de medida positiva), así que para todos $\delta>0$, $(x-\delta,x+\delta)\setminus A$ contiene elementos de $\mathbb R\setminus C$. Esto implica que la restricción de $\chi_C$ $\mathbb{R}\setminus A$es discontinua en a $x$.
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