Demostrando dos medidas de sigma-álgebra de Borel son iguales

Question

Estoy trabajando en este problema en teoría de la medida como esta:

Deje $X$ conjunto de $\mathbb R$, y deje $\mathcal B$ ser su Borel $\sigma$-álgebra, y finalmente dejó $\mu_1$ $\mu_2$ ser las dos medidas en $(X,\mathcal B)$ tal que $\mu_1((a,b))= \mu_2((a,b)) < \infty$ siempre $−\infty < a < b < \infty$. Mostrar que $\mu_1(A) = \mu_2(A)$ siempre $A \in \mathcal B$.

Aquí es lo que yo estaba pensando al principio: Desde $a,b \in \mathbb R$ y desde $A$ es un subconjunto arbitrario de $\mathcal B$, así que si sólo puedo demostrar que $(a,b) \in \mathcal B$, entonces estoy hecho. Pero me dijo un respondedor a mi publicación en la Física en el Foro de aquí que este razonamiento es equivocado, ya que no todos los conjuntos en $\mathcal B$ están abiertos. Me estoy pegando un deadend de nuevo.

Por lo tanto estoy publicando esta pregunta aquí en busca de ayuda, gracias por tu tiempo y esfuerzo.

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POST SCRIPT - 1: debería haber mencionado esto: Este problema viene de la 3ª. capítulo de un texto introductorio de Richard F. Bass aquí, por lo tanto, cualquier solución no debe implicar ninguna avanzado teoremas tales como Dynkin, etc. Lo siento por esta tardía info, gracias a todos los que se han tomado el tiempo para ayudar.

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POST SCRIPT - 2: finalmente me di con la solución sin ningún avanzada teoremas, adaptada a partir de una solución por @JoshKeneda, que utiliza Dynkin del Teorema. Me han enviado este trabajo a mi profesor, que preste por ella, excepto por (5) porque es verdadera sólo cuando la $A_i$'s de a pares distintos. Siéntase libre de dejarme un mensaje si usted tiene ideas para mejorar (5). Gracias a todos y especialmente a @JoshKeneda.

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DIVULGACIÓN: Esta pregunta es muy similar a la de un viejo MSE publicar aquí, que quedó en suspenso debido a que está incompleta. Mi mensaje tiene toda la corrección de la primera publicación. Siempre consciente de la regla de la comunidad y de orientación, he tratado de evitar la duplicación mediante la publicación de esta cuestión en otro lugar aquí y aquí, pero no he recibido ningún sentido ayuda a $-$ es comprensible que, como los dos fuera de los foros no están especializadas en matemáticas. Gracias por su comprensión.

Answer 1

De Dynkin $\pi$- $\lambda$ teorema dos medidas que en un $\pi$ sistema de acuerdo de acuerdo en $\sigma$-álgebra generada por ese $\pi$-sistema.

Para comprobar esto utilizando Dynkin, considerar $\Lambda:=\{ B \in \mathcal{B} : \mu_1(B) = \mu_2(B)\}$ es un sistema de Dynkin que contenga el $\pi$-sistema de intervalos abiertos. Así $\Lambda$ contiene la $\sigma$-álgebra generada por los intervalos abiertos (que es $\mathcal{B}$) y por lo tanto $\Lambda = \mathcal{B}$.

Answer 2

Deje $\mathcal{H}$ ser el espacio vectorial de acotado medible funciones de $h$ tal que $\int h d\mu_1 = \int h d\mu_2$. (Marque este es un espacio vectorial, fácil). Claramente $1 \in \mathcal{H}$ (a pesar de que no es inmediato). Supongamos que $h_n \geq 0$ $h_n$ es una secuencia en $\mathcal{H}$ tal que $h_n$ aumenta monótonamente a la limitada función de $h$. Así $$\int h d\mu_1 = \lim_n \int h_n d\mu_1 = \lim_n\int h_n d\mu_2 = \int h d\mu_2$$ so $h \in \mathcal{H}.$ Desde $\mathcal{H}$ contiene los indicadores de cada conjunto en el $\pi$-sistema de $\Pi$ finito de intervalos abiertos, la monotonía de la clase teorema implica $\mathcal{H}$ contiene todos los delimitada $\sigma(\Pi) = \mathcal{B}$ medibles funciones, en particular, que contiene los indicadores de $1_B$ todos los $B \in \mathcal{B}$. Por lo tanto $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ todos los $B \in \mathcal{B}$.

Answer 3

(1) let $I := (a, b)$, que $S := \{A \in \mathcal B \mid m(A \cap I) = n(A \cap I)$}. Tenemos que demostrar que $S$ es en el %-álgebra de Borel $\sigma$.

(2) que $A = X \in \mathcal B$, $$ \begin{align} m(X \cap I ) &= m(I) \\ n(X \cap I ) &= n(I) \\ \text{therefore, } m(X \cap I ) &= n(X \cap I ) \\ \end{alinee el} $$

(3) deje que $A = \emptyset \in \mathcal B$, $$ \begin{align} m(\emptyset \cap I) &= m(\emptyset) = 0 \\ n(\emptyset \cap I) &= n(\emptyset) = 0 \\ \text{therefore, } m(\emptyset \cap I) &= n(\emptyset \cap I). \end{alinee el} $$

(4) para $\forall A \in \mathcal B, A^c \in \mathcal B$, % $$ \begin{align} m(A^c \cap I) &= m((X \setminus A) \cap I)\\ &= m((X \cap I) \setminus (A \cap I))\\ &= m(X \cap I) - m(A \cap I)\\ &= m(I) - m(A \cap I)\\ \text{similarly, } n(A^c \cap I) &= n(I) - n(A \cap I)\\ \text{therefore, } m(A^c \cap I) &= n(A^c \cap I).\\ \end{alinee el} $$

(5) que $(A_i)_{i \in \mathbb N} \in A$, $$ \begin{align} m(\bigcup _{i = 1}^{\infty} (A_i \cap I)) &= \sum_{i = 1}^{\infty} m (A_i \cap I)\\ &= \sum_{i = 1}^{\infty} n (A_i \cap I)\\ &= n (\bigcup _{i = 1}^{\infty} (A_i \cap I))\\ \end{alinee el} $$

(6) del mismo modo, que $(A_i)_{i \in \mathbb N} \in A$, % $$ \begin{align} m (\bigcap _{i = 1}^{\infty} (A_i \cap I)) &= m ((\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i) \cap I)\\ &= n ((\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i) \cap I)\\ &= n (\bigcap _{i = 1}^{\infty} (A_i \cap I))\\ \end{alinee el} $$

(7) haber probado que $m(A \cap I) = n(A \cap I)$ es de Borel-$\sigma$-álgebra, ahora tenemos que demostrar que $m(A) = n(A)$:

$$\begin{align} \lim _{k \to \infty} (m(A \cap (-k, k)) &= \lim _{k \to \infty} (m (A)) \\ &= m(A) \\ \text{similarly, } \lim_{k \to \infty} (n(A \cap (-k, k)) &= \lim _{k \to \infty} (n (A)) \\ &= n (A)\\ \text{hence, } n(A) &= m(B). \qquad \blacksquare \\ \end {Alinee el} $$