En realidad, hay un par de weakenings de la primera countability para lo cual se podría decir que "secuencias suficiente".
- Un espacio topológico $X$ se llama Fréchet-Urysohn si para cada una de las $A \subseteq X$ y cada una de las $x \in \overline{A}$ hay una secuencia en la $A$ que converge a $x$.
- Un espacio topológico $X$ se denomina secuencial si un subconjunto $A \subseteq X$ es cerrado si contiene los límites de todas las secuencias convergentes de puntos en $A$.
No es demasiado difícil mostrar que la primera contables $\Rightarrow$ Fréchet-Urysohn $\Rightarrow$ secuencial (y ni flecha se invierte).
Por otra parte, tenemos los siguientes:
Hecho. Supongamos $X$ es un secuencial de espacio, y $Y$ es arbitraria espacio topológico. A continuación, una función de $f : X \to Y$ es continua si para cada secuencia convergente $\langle x_n \rangle_{n \in \mathbb{N}}$ $X$ y cada límite de $x$ de esta secuencia, tenemos que $f(x)$ es un límite de la secuencia de $\langle f(x_n) \rangle_{n \in \mathbb{N}}$.
Así, en la clase más grande de Fréchet-Urysohn espacios que obtener los dos resultados que se menciona en el OP. (Digo "todo límite" y "es un límite" en la anterior, porque no me estoy limitando a mí mismo a espacios de Hausdorff, donde cada secuencia convergente/net tiene un único límite.)
La idea básica de uso red de convergencia, en general, espacios topológicos es abstracto, lejos de la familia de (abrir) en barrios de un punto. Más particularmente, si dado cualquier punto de $x$ en un espacio topológico $X$, se tiene que $$\mathcal{N}_x = \{ U \subseteq X : U\text{ is an open neighbourhood of }x \}$$ is directed by $\supseteq$. Moreover, if $A \subseteq X$, then $x \in \overline{A}$ iff $U \cap X \neq \varnothing$ for every $U \in \mathcal{N}_x$. So if you pick some $x_U \U, \cap a$ for each $U \in \mathcal{N}_x$, we get a net in $$ converging to $x$. The next step would be to see that if you instead choose a neighbourhood base $\mathcal{B}_x$ at $x$, we still get a set which is directed by $\supseteq$, y el resultado aún se mantiene.
Por primera contable de los espacios, se obtiene la ventaja añadida de que cada punto tiene un conteo descendente base $U_0 \supseteq U_1 \supseteq \cdots$, que en términos de la $\supseteq$-orden es isomorfo a $\mathbb{N}$ con el orden usual. Esta es la razón por secuencias suficiente.
Para Fréchet-Urysohn espacios que no son de primera contables, no es posible trabajar con fijo contables descendente barrio de bases, pero algunos otros argumentación es necesario. Por ejemplo, en el espacio que yo describo aquí, es la conexión entre el espacio y la línea real (con la topología usual) que nos permite ver que es Fréchet-Urysohn.
