Demostrar que $a_n$ es un cuadrado perfecto

Question

1. Dejemos que $\,\,\,\left(a_{n}\right)_{\ n\ \in\ \mathbb{N}\,\,\,}$ sea la secuencia de enteros definida recursivamente por $$ a_{1} = a_{2} = 1\,,\qquad\quad a_{n + 2} = 7a_{n + 1} -a_{n} - 2\quad \mbox{for}\quad n \geq 1 $$
2. Demostrar que $a_{n}$ es un cuadrado perfecto para cada $n$ .

Tenemos $a_{3} = 4, a_{4} = 25, a_{5} = 169,\ldots$

¿Hay alguna forma de simplificar la recursión u obtener su forma cerrada para conseguir que sea un cuadrado perfecto?

Answer 1

Definir la secuencia dada por $b_1=1,b_2=1$ et $b_{n+2}=3b_{n+1}-b_{n}$ para $n>0$ .

Para demostrar que $a_n=b_n^2$ sólo tenemos que mostrar:

$b_{n+2}^2=7b_{n+1}^2-b_{n}^2-2$ .

Por supuesto $b_{n+2}^2=9b_{n+1}^2-6b_{n+1}b_n+b_{n-1}^2$

Así que para terminar sólo tenemos que probar $3b_{n+1}b_n=b_{n+1}^2+b_n^2+1$ .

Aviso $b_{n+1}^2+b_n^2+1=b_{n+1}(3b_n-b_{n-1})+b_n^2+1=3b_{n+1}b_n-b_{n+1}b_{n-1}+b_n^2+1$ .

Así que para terminar sólo tenemos que mostrar $b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2=1$

Para ello, observamos que

$$ \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{n+3} & b_{n+2}\\ b_{n+2} & b_{n+1} \end{pmatrix}$$

Por tanto, el determinante de la matriz de la derecha es siempre $1$ y ese determinante es $b_{n+3}b_{n+1}-b_{n+2}^2$

Answer 2

Limpiado para mayor claridad:

Recordemos la secuencia de Fibonacci:

$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$$

Aquí tienes la secuencia:

$$1^2, 2^2, 5^2, 13^2, \ldots$$

Así que: Parece que son las entradas Impares de la secuencia de Fibonacci, al cuadrado.

Para comprobar si esto se cumple, procedemos de la siguiente manera:

Nota $F(2k-1)^2$ et $a(k)$ tienen los mismos dos primeros valores; así que podemos verificar si producen las mismas secuencias comprobando si $F(2k-1)^2$ satisface la misma relación de recurrencia que $a(k)$ .

Respuesta corta: La relación es válida para $F(2k-1)^2$ como se puede demostrar apelando directamente a la fórmula cerrada de las entradas de Fibonacci. QED .

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Respuesta más larga: Para comprobar que la relación se mantiene, primero recordamos la recursividad $a(k)$ definición:

$$a(k+2) = 7a(k+1) - a(k) - 2$$

Para demostrar que $F(2k-1)^2$ satisface esta relación, comprobamos si se cumple lo siguiente:

$$F(\text{the }k+2\text{nd odd})^2 = 7F(\text{the }k+1\text{st odd})^2 - F(\text{the }k\text{th odd})^2 - 2$$

Nota: El $(k+2)$ nd impar es $2k+3$ La $(k+1)$ st impar es $2k+1$ La $k$ El impar es $2k-1$ .

Como tenemos una fórmula explícita para el $n$ de la secuencia de Fibonacci, podemos utilizarla para comprobar si se cumple la relación de recurrencia anterior. Para comprobar que se cumple, basta con restar el LHS del RHS y ver si devuelve $0$ Esto se hace en el enlace de Wolfram Alpha ici .

El resultado es el siguiente $-4 \sin^2 (\pi n)$ que no es el método más limpio de verificación; pero observe que cualquier múltiplo natural de $\pi$ es cero cuando se evalúa en $\sin$ . Así que el resultado es el siguiente. QED .

Answer 3

Para empezar, podemos traducir nuestra secuencia para tener alguna secuencia que cumpla $b_{n+2}=7b_{n+1}-b_n$ . Para ello, basta con establecer $a_n=b_{n}+\frac{2}{5}$ , lo que lleva a $b_0=b_1=\frac{3}{5}$ . Ahora el polinomio característico de la secuencia $\{b_n\}_{n\geq 0}$ es $$ p(x)=x^2-7x+1 $$ con raíces dadas por $\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}$ por lo que la forma explícita de $b_n$ está dada por: $$ b_n = A\left(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^2+B\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^n $$ donde los valores de las constantes $A,B$ se fijan en $b_0$ et $b_1$ : $$ b_n = \frac{-\sqrt{5}+3}{10}\left(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{5}+3}{10}\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^n. $$ Ahora la identidad: $$\boxed{ a_n = b_n+\frac{2}{5} = F_{2n-1}^2 }$$ es una simple consecuencia de la fórmula cerrada de los números de Fibonacci.

Answer 4

Un enfoque de fuerza bruta

$$b_{n} = 3b_{n-1} - b_{n-2}$$ Escuadra en ambos lados, $$b_n^2 = 9b_{n-1}^2+b_{n-2}^2 -6b_{n-1}b_{n-2} $$ De la misma manera, $$b_{n-1}^2 = 9b_{n-2}^2+b_{n-3}^2 -6b_{n-2}b_{n-3} $$ Restando, $$b_n^2 - b_{n-1}^2 = 9b_{n-1}^2 - 8b_{n-2}^2 - b_{n-3}^2 -6a_{n-2}(b_{n-1}-b_{n-1}) $$

Desde entonces, $$3b_{n-2} = b_{n-1} + b_{n-3}$$

$$b_n^2 - b_{n-1}^2 = 9b_{n-1}^2 - 8b_{n-2}^2 - b_{n-3}^2 -2(b_{n-1} + b_{n-3})(b_{n-1}-b_{n-3}) $$

$$b_n^2 - b_{n-1}^2 = 9b_{n-1}^2 - 8b_{n-2}^2 - b_{n-3}^2 -2(b_{n-1}^2 - b_{n-3}^2) $$

$$b_n^2 = 8(b_{n-1}^2 - b_{n-2}^2) + b_{n-3}^2 $$

Sumando ambos lados de 3 a n, $$\sum_{i=3}^{n}(b_i^2-b_{i-3}^2)=8\sum_{i=3}^{n}(b_{i-1}^2 - b_{i-2}^2)$$ $$\sum_{i=3}^{n}b_i^2-\sum_{j=0}^{n-3}b_{j}^2=8(\sum_{k=2}^{n-1}b_{k}^2 - \sum_{l=1}^{n-2}b_{l}^2)$$ $$b_n^2 + b_{n-1}^2 +b_{n-2}^2 - b_{2}^2 -b_{1}^2-b_{0}^2= 8(b_{n-1}^2 - b_1^2) $$ $$b_n^2 = 7b_{n-1}^2 - b_{n-2}^2 -2 $$ $\therefore a_n=b_n^2$ satisface la recurrencia.

Por lo tanto, se ha demostrado