¿Cómo es la$\chi^2_1$ - no una distribución de Gauss?

Question

El$\chi ^2_n$ - distribución es la distribución de la suma$Z_1 ^2+Z_2 ^2+...$ donde el$Z_i$ se ahogan de una distribución normal estándar.

Sin embargo, la distribución normal estándar es una campana de Gauss, es decir,$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^2}{2})$

por lo que la cuadratura esto daría a otra curva de campana:

$\frac{1}{2\pi}exp(-x^2)$.

Entonces ¿por qué, entonces, esto no es el$\chi^2_1$ - distribución?

Answer 1

Normalmente distribuida variable aleatoria puede tomar valores que van desde $-\infty$$\infty$. El cuadrado de cualquier valor real conduciría a valores positivos. Entonces, ¿cómo puede posiblemente $Z^2$ se distribuye normalmente?

Cuadratura función de densidad de probabilidad no tiene ningún sentido ya que esto le dará "las probabilidades cuadrado" (más precisamente: el cuadrado de la densidad) en lugar de el cuadrado de la variable aleatoria. La aplicación de cualquier función de $g$ a variable aleatoria $X$ significa que la aplicación se a $X$'s valores en lugar de a la función de densidad de probabilidad o función de distribución acumulativa.

Answer 2

Como el pececillo de plata, dijo, el problema de tu razonamiento es que para encontrar el PDF de un cuadrado de la variable aleatoria, o cualquier otra transformado variable aleatoria, no se puede realizar esa transformación en el PDF.

Si queremos saber el real en PDF de un cuadrado de la variable aleatoria debemos calcular el $P(\chi ^2_1 = x)$. Una manera de hacer esto es utilizar el CDF método de abajo,

$P(\chi ^2_1 \leq x) = P(Z^2 \leq x) = P(-\sqrt{x} \leq Z \leq \sqrt{x}) = P(Z \leq \sqrt{x}) - P(Z \leq -\sqrt{x})$

Puesto que la derivada de la CDF es el PDF, tomamos la derivada de ambos lados con respecto a $x$ y obtener,

$f_{\chi ^2_1}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} f_Z(\sqrt{x}) + \frac{1}{2\sqrt{x}}f_Z(-\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x/2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x/2}$

que es el PDF esperamos para una distribución de la Chi cuadrado con un grado de libertad.

Answer 3

En realidad, $\chi^2_\infty$ distribución "se ve como" normal. La exacta relación de $x\sim\chi^2_n$ $(x-n)/2\sqrt n\sim\mathcal{N}(0,1)$

¿Cómo ven? Como señaló una variable a partir de esta distribución se puede considerar como una suma de los cuadrados de las normales: $Z_1^2+Z_2^2+\dots+Z_n^2$. Sin embargo, el cuadrado de la normal de variables aleatorias de las mismas son variables aleatorias, aunque no es normal nunca más. También sabemos de la CLT, que una suma de variables aleatorias deben converger a algún tipo de una variable normal.

También, se propone a la plaza de la normal de PDF para obtener el PDF de la plaza de la variable normal. Que no funciona. Por ejemplo, si usted toma una parte integral de su nueva propuesta de PDF, consigue $\frac{1}{2\sqrt \pi}$ en lugar de 1. Así, el cuadrado de la PDF de la distribución normal no es ni siquiera un PDF, no normalizar a 1.