Me estaba preguntando
- si Integración por sustitución es un método solo para la integral de Riemann?
- si Integración por sustitución es un caso especial del teorema de Radon–Nikodym, y por qué?
¡Gracias y saludos!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
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Hay versiones de la teoría de la medida de la integración por sustitución, un par de las cuales se pueden encontrar en la página a la que enlazaste (busca en la página "Lebesgue"). Otra versión es un ejercicio en el libro de Royden Análisis real (página 107 de la 2a edición) que dice que si $g$ es una función creciente, absolutamente continua, tal que $g([a,b])=[c,d]$, y si $f$ es una función Lebesgue integrable en $[c,d]$, entonces $\displaystyle{\int_c^d f(y)dy=\int_a^bf(g(x))g'(x)dx}$. Este también es un ejercicio en el libro de Wheeden y Zygmund Medida e integral (página 124). Una de las versiones en la página de Wikipedia generaliza esto a subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ en el caso en el que el cambio de variables es bi-Lipschitz.
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No veo cómo sería. El teorema de Radon-Nikodym dice que si $\nu$ y $\mu$ son medidas en $X$ tales que $\nu$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$, entonces existe una función $\mu$-integrable $g$ tal que $\int_X fd\nu=\int_Xfgd\mu$ para todo $f$ $\nu$-integrable. Ambas integrales son sobre el mismo conjunto, sin cambio de variables. Tal vez no estoy entendiendo lo que tienes en mente.
Sin embargo, al menos puedes derivar la fórmula del cambio de variables lineal para la medida de Lebesgue usando el teorema de Radon-Nikodym, y tal vez haya más en esto de lo que inicialmente pensé. Si $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ es un mapa lineal invertible y $m$ es la medida de Lebesgue, entonces $\int_{\mathbb{R}^n}fdm=|\det(T)|\int_{\mathbb{R}^n}f\circ Tdm$ para todo $f$ integrable. Una prueba de esto (sin Radon-Nikodym) se da en un artículo de 1998 por Dierolf y Schmidt, y mencionan que en la prueba también podrían haber utilizado el teorema de Radon-Nikodym. No lo persiguen, pero la idea es que $f\mapsto\int_{\mathbb{R}^n}f\circ Tdm$ corresponde a una medida absolutamente continua en $\mathbb{R}^n$, por lo que hay un $g$ tal que $\int_{\mathbb{R}^n}f\circ Tdm=\int_{\mathbb{R}^n}fgdm$. En particular, considerando $f=\chi_E$ se muestra que $m(T^{-1}(E))=\int_Egdm$ para todo $E$ medible. A partir de esto, se puede demostrar que $g$ debe ser constante, y la constante debe ser la medida de la imagen del cubo unitario de $n$ dimensiones bajo $T^{-1}$, que es $|\det(T^{-1})|=\frac{1}{|\det(T)|}$.
