He encontrado esta serie $$ \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ tan \ left (\ theta \ frac {k \ pi} {n} \ right) = - n \ cot \ left (\ frac { n \ pi} {2} n \ theta \ right) $$ pero no es lo que necesito.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ed Krohne
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Lema 1:
deje $x_{j}=e^{i(2a+\frac{j-1}{n}\cdot 2\pi)}$,luego tenemos $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{n}}=\dfrac{n}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}$$
Prueba:
Primero nos nota $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{n}}=\dfrac{n+(n-1)\sum_{j=1}^{n}x_{j}+(n-2)\sum_{i,j}x_{i}x_{j}+\cdots+\sum_{i_{1},\cdots,i_{n-1}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{n-1}}}{\prod_{j=1}^{n}(1+x_{j})}$$ y desde $$x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}=e^{i(2na+\dfrac{1+2+\cdots+n-1}{n}\cdot 2\pi)}=e^{2ina+(n-1)i\pi}=(-1)^{n-1}e^{2ina}$$ así que me
nota $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ es la ecuación de raíces $$z^n=e^{2na\cdot i}$$ porque $$x^n_{j}=\left(e^{i(2a+\frac{(j-1)\pi}{n}}\right)^n=e^{2ina+(j-1)2\pi}=e^{2ina},j=1,2,\cdots,n$$ así que el uso de las fórmulas de Vieta $$\begin{cases} \sum_{i=1}^{n}x_{i}=0\\ \sum_{i,j}x_{i}x_{j}=0\\ \sum_{i,j,k}x_{i}x_{j}x_{k}=0\\ \cdots\cdots\\ x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^n\cdot (-e^{2ina})=(-1)^{n-1}e^{2ina} \end{casos}$$ así $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{n}}=\dfrac{n+0}{\prod_{i=1}^{n}(1+x_{i})}$$ Por el otro lado $$z^n-e^{2ina}=(z-x_{1})(z-x_{2})\cdots (z-x_{n})$$ deje $z=-1$,por lo que $$(1+x_{1})(1+x_{2})\cdots(1+x_{n})=1+(-1)^{n-1}e^{2ina}$$ así $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{1+x_{n}}=\dfrac{n}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}$$
Lema 2: $$\dfrac{n}{i}-\dfrac{2}{i}\cdot\dfrac{n}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}=-n\cot{\left(\dfrac{n\pi}{2}+na\right)}$$ Prueba: desde \begin{align*} \dfrac{n}{i}-\dfrac{2}{i}\cdot\dfrac{n}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}&=\dfrac{n}{i}\left(1-\dfrac{2}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}\right)\\ &=\dfrac{n}{i}\cdot\dfrac{(-1)^{n-1}e^{2ina}-1}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}\\ &=n\cdot\dfrac{\frac{(-1)^{n-1}\cdot e^{ina}-e^{-ina}}{2i}}{\frac{e^{-ina}+(-1)^{n-1}e^{ina}}{2}}\\ &=-n\cot{\left(\dfrac{n\pi}{2}+na\right)} \end{align*}
desde $$\tan{x}=\dfrac{1}{i}\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}=\dfrac{1}{i}\left(1-\dfrac{2}{e^{2ix}+1}\right)$$ vamos $x=a+\dfrac{(j-1)\pi}{n},j=1,2,3,\cdots,n)$,luego tenemos $$\sum_{j=0}^{n}\tan{(a+\dfrac{j-1}{n}\pi)}=\dfrac{n}{i}-\dfrac{2}{i}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{e^{i(2a+\frac{j-1}{n}\cdot 2\pi)}+1}$$ vamos $x_{j}=e^{i(2a+\frac{j-1}{n}\cdot 2\pi)}$,
El uso de este Lemma1,2,tenemos $$\sum_{j=0}^{n}\tan{(a+\dfrac{j-1}{n}\pi)}=\dfrac{n}{i}-\dfrac{2}{i}\cdot\dfrac{n}{1+(-1)^{n-1}e^{2ina}}=-n\cot{\left(\dfrac{n\pi}{2}+na\right)}$$
