En la isometría entre los operadores lineales acotados y el dual de los operadores lineales nucleares

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable. Deje $(e_i)_i$ ser un ortonormales. Para cualquiera limitada lineal mapa de $T$ escribimos, siempre que sea posible

$$\operatorname{tr} T := \sum_{i}^{\infty} \langle T e_i, e_i \rangle$$

Ahora vamos a $L(H)$ el conjunto de operadores acotados, $N(H)$ el conjunto de los operadores nucleares. Queremos mostrar

$$i: L(H) \rightarrow N(H)' , \quad T \mapsto ( S \mapsto \operatorname{tr}(TS))$$

es un isomorfismo isométrico.

Por el ideal de la propiedad de los operadores nucleares, es fácil ver que $i$ está bien definido, lineal y acotado con $|i| \leq 1$.

Recordemos que los operadores de $\langle \cdot, e_i \rangle e_j$ formulario de una base de $N(H)$. Usted puede fácilmente ver que el operador es inyectiva (si el inducido funcional es cero, es preimagen debe haber sido cero,demasiado) y surjective (simplemente construir un operador $T \in L(H)$, lo que induce a un determinado funcional en $N(H)$).

Pregunta: ¿Cómo puedo finalizar la prueba con la que muestra que el $i$ es una isometría?

Answer 1

Yo lo haría de la siguiente manera:

1. Para $(x,y) \in H \times H$ definir un elemento de $N(H)$ $x \,\tilde{\otimes}\, y = \langle \cdot , y \rangle x$ y tenga en cuenta que $\|x \, \tilde{\otimes}\,y\|_{1} = \|x\|\,\|y\|$.
2. Para un funcionamiento $\varphi \in N(H)'$ definir un sesquilinear forma en $H$$B_{\varphi}(x,y) = \varphi(x \,\tilde{\otimes}\, y)$. El mapa de $\varphi \mapsto B_{\varphi}$ es claramente lineal y de la norma $\leq 1$ desde $|B_{\varphi}(x,y)| = |\varphi(x \, \tilde{\otimes}\,y)| \leq \|\varphi\|\,\|x\|\,\|y\|$ por 1.
3. El uso de la versión de la representación de Riesz teorema que indica que cada delimitada sesquilinear forma $B$ es de la forma $B(x,y) = \langle x,T y \rangle$ para $T$. Por otra parte, $\|B\| = \|T\|$. En otras palabras, el mapa de $B \mapsto T$ desde delimitada sesquilinear formas a $L(H)$ es una isometría lineal.
4. Definir $j(\varphi)$ $\varphi \mapsto B_{\varphi} \mapsto T_{\varphi}$ mediante la combinación de los mapas de 2. y 3. Compruebe que$ji = 1_{L(H)}$$ij = 1_{N(H)'}$. Dado que tanto $i$ $j$ han norma $\leq 1$, que debe ser isometrías.

Answer 2

Yo creo que esto ayuda a pensar en la conmutativa analógica de este, que es el hecho de que $\ell^\infty$ es el doble de $\ell^1$. Si $(a_n)_n\in\ell^\infty$, entonces el funcional correspondiente es $(x_n)_n\mapsto\sum_n a_nx_n$. Para mostrar que el mapa de $\ell^\infty$ a el doble de $\ell^1$ no disminuye la norma, vamos a $\varepsilon\gt0$, tome $m$ tal que $|a_m|\gt \|(a_n)_n\|_\infty-\varepsilon$, y deje $(x_n)_n\in\ell^1$ ser tal que $x_m=1$$x_n=0$$n\neq m$. A continuación,$|\sum_n a_nx_n|=|a_m|=|a_m|\|(x_n)_n\|_1 \geq(\|(a_n)_n\|_\infty-\varepsilon)\|(x_n)_n\|_1$.

En el no conmutativa caso, usted tiene una limitada operador $T$, y dado el pequeño $\varepsilon$ usted puede encontrar un vector unitario $e\in H$ tal que $\|Te\|\geq\|T\|-\varepsilon$, y un vector unitario $f\in H$ tal que $\langle Te,f\rangle = \|Te\|$. Tener en cuenta el rango de un operador $S=\langle\cdot,f\rangle e$, lo que ha norm $1$$N(H)$. Si mis cálculos son correctos, el rastro de TS es $\langle Te,f\rangle=\|Te\|$, mostrando que la norma de $i(T)$ al menos $\|T\|-\varepsilon$.

Tenga en cuenta que en el espacio de Hilbert, los operadores nucleares son a menudo llamados "clase de seguimiento", y que una prueba de que $L(H)$ es el doble de la traza de la clase de los operadores se pueden encontrar en textos clásicos sobre el operador de la teoría.