Producto en cuña de clases de cohomología de Hochschild en característica $2$

Question

Sea $A$ un álgebra conmutativa y suave sobre $k$, donde $k$ es un anillo conmutativo. Según el teorema de Hochschild–Kostant–Rosenberg, tenemos que $\mathrm{HH}^*_k(A) \cong \bigwedge^* \mathrm{Der}_k(A, A)$, donde $\mathrm{Der}_k(A,A)$ es el módulo $A$ de derivadas lineales $k$-lineales de $A$. Recordemos que $\mathrm{HH}^*_k(A)$ es un álgebra conmutativa graduada bajo el producto copa (en realidad es un álgebra de Gerstenhaber, pero por ahora solo necesitamos el producto copa).

Si $k$ es un campo con característica diferente de 2, es fácil ver que la relación $[f] \smallsmile [f] = 0$ para $[f] \in \mathrm{HH}^1_k(A)$ se cumple, ya que $[f] \smallsmile [f]$ es una 2-torsión. Por otro lado, parece ser necesario un poco más de trabajo en la característica $2$: incluso dado $A = \mathbb{F}_2[x, y]$, no es inmediatamente obvio para mí (y tal vez simplemente no he jugado lo suficiente con esto) cómo descomponer $[\frac{\partial}{\partial x}]\smallsmile[\frac{\partial}{\partial x}]$ como una suma de $2$-bordes de Hochschild, es decir, funciones de la forma $f(a, b) = a \cdot g(b) - g(ab) + g(a) \cdot b$. ¿Alguien conoce alguna descomposición así?

Answer 1

Si desea un coborde explícito, tome el borde de la función $g$ que envía $[x^a y^b]$ a $x^{a-2} y^b$ veces la imagen de $a(a-1)/2$ en $\mathbb{F}_2$. Funciona porque el cuadrado de la copa de $\partial / \partial x$ envía $[x^i y^j | x^k y^l]$ a $ikx^{i+k-2}y^{j+l}$, y $dg ([x^i y^j | x^k y^l]) = x^i y^j g(x^k y^l) - g(x^{i+k}y^{j+l}) + g(x^i y^j) x^k y^l$, y el coeficiente de $x^{i+k-2} y^{j+l}$ es la imagen en $\mathbb{F}_2$ de $i(i-1)/2 + k(k-1)/2 + (i+k)(i+k-1)/2 = ik$.

La estructura de este anillo de cohomología de Hochschild se puede ver de otras maneras. Una es escribir explícitamente la resolución mínima de bimódulos: tiene longitud dos, y calcular productos usando esto. Debería resultar que $\operatorname{HH}^*(\mathbb{F}_2[x,y]) \cong \mathbb{F}_2[x,y] \otimes \mathbb{F}_2[X,Y]/(X^2,Y^2)$.

EDITAR: Hay una forma estándar de encontrar tales cobordes. Supongamos que $f,g$ son cociclos y $\circ$ es la 'composición' usada para definir el corchete de Gerstenhaber, consulte Gerstenhaber, "The cohomology structure of an associative ring" p.281, o cualquier anotación sobre teoría de deformaciones. Entonces $$ f \cup g - (-)^{|f||g|} g \cup f = d(f \circ g) $$ (las convenciones de signo pueden diferir...)