¿Cuál es la interpretación geométrica de un vector al cuadrado?

Question

Estoy trabajando a través de la Introducción a la Dinámica Espacial por William Tyrrell Thomson. Tengo que hacer un montón de investigación para que sea a través de incluso pequeñas partes, pero soy incapaz de encontrar información para hacer de mí la confianza suficiente para resolver esta pregunta del libro:

¿Cuál es la interpretación geométrica de la $\left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2$?

Para empezar, estoy pensando en una forma simplificada: $\vec{c}^2, c = \vec{a} + \vec{b}$

Aquí es donde me quedo atascado, como no he sido capaz de encontrar cómo manejar un vector multiplicado por sí mismo. La información de un lugar dice que un vector multiplicado por sí mismo es igual al producto escalar de un vector consigo mismo: $\vec{c}\cdot\vec{c}$. En otros lugares he encontrado información que me hace pensar que la multiplicación de un vector por otro vector en el sentido se podría multiplicar un escalar por un escalar no es una operación válida para llevar a cabo.

Cual de estos dos es el caso, o es un tercer caso, que no he considerado? Me estoy acercando el problema de forma incorrecta?

Answer 1

$\vec{c}^2$ Es una notación alternativa$\vec{c}\cdot\vec{c}=||\vec{c}||^2$

Una motivación para esto es que las fórmulas

ps

ps

y

ps

ahora se convierte

ps

ps

y

ps

Similitudes con las identidades escalares correspondientes que sean más fáciles de recordar.

Answer 2

Creo que es de sabios se centran en $\vec{c} \cdot \vec{c}$, en lugar de $(\vec{a} + \vec{b})^2$.

Deje $\vec{c}=(2,1)$. Entonces $$\vec{c} \cdot \vec{c} = (2,1) \cdot (2,1) = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5 \;,$$ que es el cuadrado de la longitud del vector $(2,1)$, es decir, que el vector tiene una longitud de $\sqrt{5}$. El punto-producto de la multiplicación es el componente de "sabio", es decir, producto de $x$-coords, de productos de más de $y$-coords. Por lo que la interpretación geométrica es: el cuadrado de la longitud del vector.

(Hay otra de las destacadas del vector de la multiplicación, el producto cruzado.)