variedad proyectiva no singular de grado$d$

Question

Para cada$d>0$ y$p=0$ o$p$ primordial encontrar una curva no singular en$\mathbb{P}^{2}$ de grado$d$.

Estoy muy cerca justo pegado en un caso pequeño. Si$p\nmid d$, entonces$x^{d}+y^{d}+z^{d}$ trabaja. Si$p\mid d$ entonces he elegido la curva$zx^{d-1}+xy^{d-1}+yz^{d-1}$. Después de un poco de trabajo utilizando el criterio jacobiana para nonsingularity llego a$3z=0$. Mientras$p\neq 3$ esta curva es no singular. Pero no he sido capaz de hacer frente a la$p=3$ caso. ¿Algunas ideas? Gracias por adelantado.

Answer 1

Si $\operatorname{char}(k)=3$ $d$ es divisible por $3$, entonces la curva de $$ C=V(X^d+ZX^{d-1}+XY^{d-1}+YZ^{d-1}) \subconjunto \Bbb P^2_{k} $$ es no singular de grado $d$.

De hecho, si $[x:y:z] \in C$ es un punto singular, entonces, teniendo en cuenta las derivadas parciales de la ecuación de definición de $C$, obtenemos $zx^{d-2}=y^{d-1}$, $xy^{d-2}=z^{d-1}$ y $yz^{d-2}=x^{d-1}$. La multiplicación de estas igualdades por $x,y,z$ respectivamente, obtenemos $$ zx^{d-1}=xy^{d-1}=yz^{d-1} $$ y sustituyendo esto en la ecuación anterior los rendimientos $$ 0=x^d+zx^{d-1}+xy^{d-1}+yz^{d-1}=x^d+3zx^{d-1}=x^d $$ como estamos en el carácter $3$. Por lo tanto $x=0$, pero luego por las anteriores igualdades, $y,z$ tiene que ser igual a cero, lo cual es imposible. Por lo tanto, $C$ es no singular.

Editar:

En Fredrik la solicitud, puedo añadir cómo encontré con ese ejemplo. Espero que mi explicación es al menos algo útil, como no estoy seguro acerca de eso.

Empecé a mirar la curva sugerido por el OP, y tranquilizó a mí mismo que es de hecho la singular, en el carácter $3$ (por ejemplo, $[1:1:1]$ es un punto singular). La razón es que, a grandes rasgos, en la ecuación de la curva, tiene $3$ sumandos, por lo que en característicos $3$, se puede concluir que para un punto singular $[x:y:z] \in C$, que necesariamente tienen $x=0$ (esto implicaría $y=z=0$, y lo que hace).

Traté de arreglar esto por considerar algo como $2XZ^{d-1}+2XY^{d-1}+YZ^{d-1}$ ("para que no se sume a $3$"), pero que no funcionaba, la introducción de la $2$'s en la ecuación de cambios de las derivadas parciales así, y tenemos el mismo problema en la final.

Después de jugar un poco, me escribió la ecuación (se me olvidó por qué) $$ X^d+ZX^{d-1}+XY^{d-1}+YZ^{d-1} $$ y pronto se dieron cuenta de que esto tiene que funcionar, porque ahora las derivadas parciales son los mismos que los de la curva empezamos con (gracias a la condición de que $3 \vert d$), pero esta curva ha $4$ sumandos, en lugar de $3$, por lo que el problema con la curva de la OP desaparecería.