Diferentes formas hechas con un número determinado de cuadrados

Question

¡Buenos días! Actualmente estoy investigando cómo se pueden hacer diferentes formas a partir de un número determinado de cuadrados. Tengo dos preocupaciones principales: (1) ¿Habrá una fórmula que prediga el número de formas que se pueden hacer a partir de un determinado número de cuadrados sin el volteo y la rotación de las formas formadas; y (2) qué pasa con el volteo y la rotación? Investigando y enumerando manualmente las posibles formas que se pueden formar, mis observaciones son las siguientes:

Sin voltear ni rotar:

Número de cuadrados -Número de formas realizadas

1- 1

2- 1

3- 2

4- 5

5- 12

6- 35

7- 108

8- 384 edit: debería ser 369

Con volteo y rotación:

Número de cuadrados- Número de formas realizadas

1- 1

2- 2

3- 6

4- 19

5- 63

6- 208 edición: debería ser 216

Cualquier ayuda que pueda prestar será muy apreciada.

PS. Estaré muy, muy agradecido si puede proporcionar una explicación de por qué hay (o no hay) una fórmula que se puede derivar de esto.

Muchas gracias.

Edición: He añadido una imagen porque creo que no he sido capaz de apuntar mi mensaje con claridad :D

Answer 1

Cuando se tiene una lista de enteros de este tipo, siempre vale la pena buscarla en el Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros . Las dos secuencias que describe son Secuencia OEIS A000105 y Secuencia OEIS A001168 aunque parece que te equivocaste en los últimos recuentos y deberían ser $369$ y $216$ respectivamente.

Ver también MathWorld y Wikipedia en los poliominós. Según el artículo de MathWorld, ni siquiera se conoce la tasa de crecimiento, por lo que no se conoce ninguna fórmula para estos números. En cuanto a tu pregunta de por qué esto es así, es bastante difícil de responder específicamente. Muchos problemas matemáticos resultan intratables.

Answer 2

Se me ocurrió esta pregunta al jugar al blokus, y pensé que había dado con una ecuación que funciona, pero sólo funciona para 1-5 piezas. Pensé que era correcto ya que blokus no tiene piezas más grandes que eso. Sin embargo, ¡aquí está! Para y= el tamaño y x= número de piezas, $y=2^{(x-1)}-x+1$