$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n = \pi$,$a_n\in \mathbb Q$ Y no$a_n$ no monotónica

Question

¿Cómo se puede construir una secuencia$\{a_n\}$ de los números racionales positivos, que no es monótona tal que$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n = \pi$ $ pensé mucho en esta pregunta, pero yo siempre llegar a una sucesión monótona. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

si$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n $ es absolutamente convergente entonces todo reordenamiento todavía convergen al mismo valor.

Así que toma una suma$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n = \pi$ que es absolutamente convergente y reorganizarlos en una forma que no es monótona.

Answer 2

Hay un par de métodos posibles para lograr esto. Uno de ellos es hacer uso del método de Newton, tal como se aplica a $\sin(x)$ (que en repetidas ocasiones sobreestimar el paso por una pequeña cantidad). Es decir,

$$ \Delta x = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x) $$ Elegir un valor inicial ligeramente por encima de $\pi$, decir $a_0=3.5$. A continuación, vamos a $a_n=-\tan(\sum_{i=0}^{n-1} a_i)$. Cada término será entonces de oponerse a firmar en relación a la anterior, y se van a converger rápidamente a $\pi$.

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EDITAR:

Oh, acabo de dar cuenta de la "$a_n\in\mathbb{Q}$" condición. Esto se puede lograr simplemente usando una aproximación racional a $\tan$ para cada paso, sólo requiere que sea, por ejemplo, $\frac1m$ para el entero $m$ que lo hace más cercano el valor de $\tan$ que es un paso más largo que el de $\tan$ sí. Por ejemplo, la primera iteración ha $a_1=-\tan(3.5)\approx -0.374$. El más cercano el valor de $m$ es lo $3$, pero que hace que sea un pequeño paso, así que elige $2$, y ha $a_1=-\frac12$.

A continuación, $-\tan(3)\approx 0.142$, que es el más cercano a $\frac17$, pero eso es demasiado corta un paso, así que nos tomamos $\frac16$. Ahora $-\tan(3+1/6)\approx -0.0251$, por lo que el más cercano es $\frac1{40}$, pero de nuevo, demasiado grande un paso, por lo que el uso de $m=39$. Y así sucesivamente. La secuencia de valores de $m$ es así (en valor absoluto, para cada paso): $$ 2, 6, 39, 1763... $$

Answer 3

Como una serie condicionalmente convergente puede reordenarse para dar cualquier valor a voluntad, utilizar su favorito de esas series (la mía pasa a ser$\sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{n}$). El truco es escoger términos positivos hasta que la suma es mayor que su destino$\pi$ (hay$a_0$), a continuación, recoger suficientes términos negativos a caer abajo (el$a_1$), y seguir adelante .

No, no es exactamente un buen conjunto de términos, y puede ser considerado como trampa como sea necesario para conocer su destino de antemano.