100 soldados riddle

Question

Uno de mis amigos encontré este enigma.

Hay 100 soldados. 85 perder una pierna izquierda, 80 perder una pierna derecha, 75 perder un brazo izquierdo, 70 perder un brazo derecho. ¿Cuál es el número mínimo de los soldados de perder todas las 4 extremidades?

Parece que no podemos estar de acuerdo en una forma de acercarse a este.

De inmediato me dijo que:

85 lost a left leg, 80 lost a right leg, 75 lost a left arm, 70 lost a right arm.
100 - 85 = 15
100 - 80 = 20
100 - 75 = 25
100 - 70 = 30
15 + 20 + 25 + 30 = 90
100 - 90 = 10

Mi amigo no está de acuerdo con mi respuesta, como él dice, no todos los subconjuntos fueron tomados en cuenta. Soy incapaz de defender mi respuesta como esta fue sólo la primera, y la más lógica, la respuesta que saltó a la mente.

Answer 1

Aquí es una forma de reescritura de su original argumento de que debe convencer a su amigo:

Deje $A,B,C,D\subset\{1,2,\dots,100\}$ ser los cuatro conjuntos, con $|A|=85$,$|B|=80$,$|C|=75$,$|D|=70$. A continuación, queremos que el tamaño mínimo de $A\cap B\cap C\cap D$. Combinando el hecho de que $$|A\cap B\cap C\cap D|=100-|A^c\cup B^c\cup C^c\cup D^c|$$ where $A^c$ refers to $$ complement, along with the fact that for any sets $|X\taza de S|\leq |Y|+|X|$ we see that $$|A\cap B\cap C\cap D|\geq 100-|A^c|-|B^c|-|C^c|-|D^c|=10.$$

Usted puede, a continuación, demuestran que esto es óptima por tomar cualquier opción de $A^c$, $B^c$, $C^c$ y $D^c$ de manera tal que cualquiera de los dos son distintos. (Esto es posible ya que la suma de sus tamaños es $90$ que es estrictamente menor, a continuación,$100$.)

Answer 2

Si usted suma todas las lesiones, hay un total de 310 sostenida. Esto significa que 100 soldados perdieron 3 miembros, con 10 restante lesiones. Por lo tanto, 10 soldados deben haber sufrido una lesión adicional, perdiendo así las 4 extremidades.

La manera en que has argumentado tu respuesta me parece lógico y correcto.

Answer 3

Su respuesta es correcta. Piense en ello como esto: ¿cuántas personas son libres de no perder cada miembro? Asegúrese de que estas personas no se solapen, para crear un grupo de personas que están garantizados por lo menos una extremidad y maximizar el tamaño de este grupo. Lamentablemente las personas restantes no tienen esta garantía de "un miembro es seguro". Calcular el porcentaje (10%).

Answer 4

de acuerdo con 10:

número mínimo de personas amputadas con ambas piernas que faltan: (100 - (100-85) + (100-80)) = 65 número mínimo de personas amputadas con ambos brazos faltantes: (100 - (100-75) + (100-70)) = 45

ahora uso el mismo análisis de "venn" para encontrar el mínimo solapamiento entre los #s previamente calculado

número mínimo de personas amputadas con todos los miembros que faltan: (100 - (100-65) + (100-45)) = 10

Answer 5

10 y este es el por qué.

• El conjunto más pequeño de soldados heridos (que perdió su brazo derecho) fueron 70 en número. Que deja a los 30 de cada 100 que mantuvieron su brazo derecho. Por lo tanto, el mayor número de soldados sin el brazo izquierdo y con el brazo derecho sólo puede ser de 30 a más. Esto significa que los conjuntos de los 70 y 75 debe superponerse al menos 45.
• Ahora tenemos un conjunto de 45 soldados que faltan ambos brazos. Que deja de 55 años que no han perdido ambos brazos. El mayor número de soldados que han perdido su pierna derecha y no han perdido ambos brazos sólo puede ser de 55 a más. Esto significa que los sets de 45 y 80 debe superponerse al menos 25 años.
• Ahora tenemos un conjunto de 25 soldados que faltan ambos brazos y su pierna derecha. Los conjuntos de 85 y 25 años debe superponerse al menos 10.