congruente con 1 mod p

Question

Esto es un poco vaga pregunta: para que un número primo p, a menudo vemos que varios cargos vienen a ser 1 modulo p. ¿Cuáles son las posibles razones para esto?

Aquí están algunas de las que he encontrado:

1. Por alguna razón, el recuento puede ser reducido modulo p, o en el campo de p elementos, y en ese entorno, la respuesta resulta ser 1.
2. Hay un grupo de acción de un p-grupo en el set con exactamente un punto fijo. Por tanto, todas las otras órbitas tienen tamaños de igual a una potencia de p. Esto se utiliza, por ejemplo, en la comprobación de que el número de p-subgrupos de Sylow es congruente a 1 mod p.
3. Un tipo inductivo contar el argumento, que se basa en la siguiente observación: la suma de un números, cada uno de los cuales es 1 mod p, que es congruente con un mod p. Por lo tanto, la suma es 1 mod p iff una es 1 mod p. Esto viene, por ejemplo, en inductiva pruebas de que el número de subgrupos de orden $p^k$ en un grupo de orden $p^n$ es congruente con 1 mod $p$. Una versión más general de este es Phillip Sala de la Enumeración Teorema. (Este argumento puede ser visto como una variante de (1), pero creo que es suficientemente distintiva para mencionar por separado).
4. El número aparece como el número de una dimensión de los subespacios de un finito-dimensional espacio vectorial sobre un campo con p elementos, que sabemos que es un polinomio en p con término constante 1.
5. Más sofisticadas combinaciones de (3) y (4) son usados para probar que el número de subgrupos de diversos tipos en la p-grupos es congruente con 1 mod p. Ver, por ejemplo, el trabajo de Jonás y Konvisser: Contar abelian subgrupos de p-grupos: un enfoque proyectivo, Diario de Álgebra, Página 309-330, 1975.
6. Una aplicación de Fermat poco teorema o una "orden en el grupo multiplicativo" el resultado, en un primer p distinto de p se puede dividir $(a^p - 1)/(a - 1)$ sólo si es congruente con 1 mod p.
7. Algunos de los resultados de Euler características en la combinatoria. Yo realmente no entiendo cómo se está demostrada, o por qué el "congruente con 1 mod p" viene de arriba.

Mirando hacia adelante a más situaciones donde "1 mod p" viene de arriba, y/o profundización de conocimientos en las formas ya he mencionado anteriormente.

Answer 1

Deje$R_n$ sea el número de Cuadrados Latinos reducidos de orden$n$. Entonces$R_n \equiv 1 \pmod n$ if$n$ y es primo$R_n \equiv 0 \pmod n$ if$n$ es compuesto. Ver nuestro artículo divisores del número de rectángulos Latina .

En este caso, cuando$n=p$ es un primo, este se llega a través de una acción de grupo (por un grupo de cardinalidad$p$) que tiene$(p-2)!$ puntos fijos. Teorema de Wilson implica$(p-2)! \equiv 1 \pmod p$, dando el resultado.

Answer 2

El teorema de Chevalley-Advertencia se demuestra de esta manera, se cuenta mod p usando el pequeño teorema de Fermat. Salvo que muestran el número de soluciones es divisible por p, y si usted tiene una solución trivial entonces usted tiene otra.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chevalley-Warning_theorem

Answer 3

Si$p\lt q$ son números primos, entonces no es un grupo no abeliano de orden$pq$ si y sólo si$q$ es 1 (mod$p$).