Evaluar el límite:$\lim \limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{4^n+9n^2}=4$

Question

¿Cómo puedo demostrar que:$\lim \limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{4^n+9n^2}=4$

Gracias.

Answer 1

Teorema del emparedado:

Para$n \ge 4$ tenemos que

ps

y entonces

ps

(Hemos utilizado $$\sqrt[n]{4^n} \le \sqrt[n]{4^n + 9n^2} \le \sqrt[n]{2\times4^n}$ para$$ 4 \le \sqrt[n]{4^n + 9n^2} \le 2^{1/n} \times 4 $, que tiene una prueba usando inducción Fácil).

Desde$9n^2 \lt 4^n$ como$n \ge 4$, el resultado sigue.

Para probar que$2^{1/n} \to 1$ Una forma de ver esto es utilizar el teorema siguiente norma:

Si$n \to \infty$ y$2^{1/n} \to 1$, entonces$a_n \gt 0$. Usted escoge $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$. Por supuesto, usted podría utilizar este teorema en su propia secuencia original ...

Answer 2

Sólo por diversión:

El uso de un martillo:

Se podría aplicar la regla de L'Hôpital a $\ln\root n\of{4^n+9n^2}$:

Tenemos $$\eqalign{ \lim_{n\rightarrow\infty}\ln\raíz n\{4^n+9n^2} &=\lim_{n\rightarrow\infty}{\ln(4^n+9n^2)\sobre n}\cr &=\lim_{n\rightarrow\infty}{ {\ln 4\cdot4^n+18n \más de 4^n+9n^2 }}\cr &=\lim_{n\rightarrow\infty}{ {(\ln 4)^2\cdot4^n+18 \\ln 4\cdot4^n+18n }}\cr &=\lim_{n\rightarrow\infty}{ {(\ln 4)^3\cdot4^n \(\ln 4)^2\cdot4^n+18 }}\cr &=\lim_{n\rightarrow\infty}{ {(\ln 4)^4\cdot4^n \(\ln 4)^3\cdot4^n }}\cr y= { {\ln 4 }};\cr }$$ de dónde $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of{4^n+9n^2} =e^{\ln 4}=4.$

O bien, use un incluso aún más grande mazo:

Utilice el hecho de que para los positivos $a_n$ si $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {a_{n+1}\over a_n}$ existe, también lo $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\root n\of {a_n}$ y son iguales.

Aquí $a_n=4^n+9n^2$ y se puede demostrar que $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {4^{n+1}+9(n+1)^2\más de 4^n+9n^2} =4.$$ Así que, a continuación,$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of{4^n+9n^2}=4$.

Answer 3

Estamos mirando$$4\left(1+\frac{9n^2}{4^n}\right)^{1/n}. A continuación, utilice el teorema del emparedado.

Observación: Este enfoque tiene la ventaja (pequeña!) Que necesitamos saber esencialmente nada de$n$ - ésima raíz, aparte del hecho de que el$n$ - ésima raíz del$x$ es$\le x$ Si $x\ge 1$. Todo lo que necesitamos saber es que$\dfrac{9n^2}{4^n}$ se puede hacer "pequeño".

Answer 4

sugerencia detallada:

1. Escribir$\sqrt[n]{4^{n}+9n^{2}}$ como $$\sqrt[n]{4^{n}+9n^{2}}=4\sqrt[n]{ 1+9n^{2}/4^{n}}.$ $ Answering your comment above: Why? Because $ $\sqrt[n]{4^{n}+9n^{2}}=\sqrt[n]{4^{n}\left( 1+9n^{2}/4^{n}\right) }=4\sqrt[n]{ 1+9n^{2}/4^{n}}.$$ %
2. Observe que$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}}{4^{n}}=0. Ver esta pregunta ¿Cómo demostrar que la exponencial crece más rápido que el polinomio?