Depende de lo que usted está tratando de demostrar, y para qué están demostrando estos metatheorems.
Así, la noción de "más" se está apelando a en preguntar acerca de la meta no está completamente bien definido. Una definición común de la fuerza de la lógica es la "prueba de la teoría de la resistencia", que básicamente equivale a la más fuerte principio de la inducción de la lógica puede justificar (en conjunto teórico términos, este es el mismo como el de identificar el conjunto más grande de la lógica de la coherencia demuestra bien ordenados). La teoría de los números ordinales clasifica lógica de esta idea. Esto es natural, por dos razones, ambas derivadas del teorema de la incompletitud de Gödel. El teorema de la incompletitud nos dice que no podemos demostrar la consistencia de una fuerte teoría con un débil", por lo que para probar la consistencia es siempre el caso de que usted necesita para asumir una mayor lógica en el metatheory que de la lógica que estás demostrando consistencia de. De manera más abstracta, este hecho da lugar a un orden parcial sobre lógico formal de los sistemas.
Sin embargo, la consistencia de las pruebas no son la única cosa que interesa a la gente!
Otro propósito para dar la semántica de la lógica es ayudar a entender lo que las personas que utilizan un idioma diferente decir, en sus propios términos. Por ejemplo, dar un clásico de la semántica a intuitionistic lógica tradicional de los matemáticos de una manera de entender lo que es una intuitionist significa, en sus propios términos. Del mismo modo, la semántica de la lógica clásica en intuitionistic términos explica a intuitionists lo clásico lógicas decir. Para este propósito, no importa cuánto matemática de la maquinaria que aportar, siempre y cuando se aporta información.
Este es el final que algo que termina por tener grandes matemáticos de ganar. Se puede iluminar todo tipo de hechos sorprendentes. Por ejemplo, Brouwer no sólo tienen fuertes opiniones acerca de la lógica, también hizo afirmaciones acerca de la geometría, por ejemplo, que el proceso era indivisible-que son lisa y llanamente falso, en ingenuas de los términos clásicos. A priori, no está claro qué tiene esto que ver con el medio excluido. Pero resulta que él no era sólo un loco Holandés; la lógica de la suave análisis es intuitionistic, y el uso de intuitionistic lógica exactamente gestiona montones de lado las condiciones que tendría que manejar con la mano si usted trabajó de forma explícita en el modelo.
Por el contrario, el estudio de la lógica clásica en intuitionistic términos le da una manera de explorar el centro de cálculo contenido de la clásica lógica. A menudo, no argumentos clásicos (como el uso de la doble negación eliminación) cantidad de una apelación a la existencia de una especie de retroceso de los procedimientos de búsqueda y, a veces usted puede demostrar que aparentemente clásica de la prueba es constructiva porque esta búsqueda es en realidad decidable. Martin Escardo del trabajo en la "agotables conjuntos" es un delicioso ejemplo de esto, como un truco del mago. Él muestra que la búsqueda exhaustiva sobre algunos tipos de infinitos conjuntos es decidable (que está relacionado con el hecho de que, por ejemplo, el Cantor espacio es compacto).
