Martingala no es uniformemente integrable

Question

Me he encontrado con una declaración que implica que las martingalas no negativos para el cual$\{M_{\tau}\mid \tau \ \rm{stopping} \ \rm{time}\}$ no es uniformemente integrable existen. Yo personalmente no puedo pensar en un ejemplo Tho.

He pensado en estrategias de juego y browniano mociones pero ninguno parece funcionar.

¿Hay alguien que pueda pensar en un ejemplo y ayudar a entender el concepto un poco más?

Estado buscando en esto por un tiempo ahora para ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Deje$\xi_j$ iid con$(\forall j \in \mathbb{N}) \mbox{} \mathbb{P}(\xi_j=0)=\mathbb{P}(\xi_j=2)=1/2$, y definir$M_n=\prod_{j=1}^n \xi_j$ para$n\geq 0$. Entonces$(M_n)$ es una martingala no negativo con$\mathbb{E}(M_n)=1$ para todos los$n$. Pero$M_n\to 0$ casi con toda seguridad, por lo que$(M_n)$ puede no ser uniformemente integrable.