series formales coeficiente de multiplicación

Question

Teniendo en cuenta que tengo dos series formales:$$ A(x) = \sum_{k \ge 0} a_k x^k $ $$$ B(x) = \sum_{k \ge 0} b_k x^k $ $

El producto de Cauchy da una serie$$ C(x) = \sum_{k \ge 0} c_k x^k $ $$$ c_k = \sum_{n=0}^k a_n b_{k-n} $ $

Que proviene de tomar el producto de las dos series$C(x)=A(x)B(x)$. ¿Qué, pues, en términos de$A(x)$ y$B(x)$, es esta serie? ps

Answer 1

Es conocido como el producto de Hadamard $\rm\; f \star g\;$. No hay ninguna forma cerrada para general hadamard productos, pero algunas clases de funciones son conocidos por ser cerrado bajo tales productos, por ejemplo, energía racional de la serie. Sin embargo, algebraica de la serie en general, no está cerrado bajo Hadamard productos, el estándar de ejemplo se $\rm\quad f = g = (1-4x)^{-1/2} \;=\; \sum \binom{2n}{n}\ x^n\:.\quad$ sin Embargo, $\rm\: f\:$ racional, $\rm\: g\:$ algebraicas $\rm\;\Rightarrow\; f\star g\;$ algebraicas. También D-finito de alimentación de la serie están cerrados bajo Hadamard productos, es decir, el poder de la serie de la satisfacción de una ecuación diferencial lineal con coeficientes polinomiales o, equivalentemente, de la serie cuyos coeficientes satisfacer lineal recursiva ecuación con coeficientes polinomiales.

Hadamard productos también puede ser definido en términos de las diagonales multivariante de series (y viceversa), por ejemplo, ver este papel, donde encontrará algunas conexiones interesantes con autómatas finitos que, por ejemplo, ayudan a observar fácilmente que algebraicas de la serie sobre $\rm\mathbb{F}_p$ está cerrado bajo producto de Hadamard (que no en el carácter 0)

Answer 2

$Y$ es conocido como el producto de Hadamard $A$$B$, y no hay una manera fácil de encontrar desde $A$ $B$ en general. (Si no me creen, establezca $A = B = e^x$.) Lo más parecido que conozco a una fórmula es (con todas las analíticas de advertencias que hace converger todo)

$$Y(r) = \frac{1}{2\pi } \int_0^{2\pi} A(e^{i \theta}) B(re^{-i \theta}) d \theta$$

el que se sigue por el teorema de Parseval. Si $A$ $B$ son lo suficientemente simples (por ejemplo, si son funciones racionales), entonces es posible evaluar esta integral, pero en general no hay mucho que se puede hacer; $Y$ puede ser mucho más complicado de lo que $A$ o $B$. (Otra idea es escribir lo anterior como una integral de contorno, y si el integrando termina siendo meromorphic puede probar a usar el teorema de los residuos.)

Computación Hadamard productos es un caso especial de la computación de la diagonal de una de dos variables de generación de función, un problema que describo con un par de ejemplos aquí usando el teorema de los residuos.

(Por supuesto muy especial $A$ es posible decir más, por ejemplo, cuando se $a_k$ es un polinomio en a $k$.)

Answer 3

respuesta estúpida:$Y\left(x\right)=\delta_{ik}A\left(x\right)B\left(1\right)$, para$\delta_{ik}$ el delta de Kronecker, y$i$ siendo el índice en$B\left(x\right)$.