¿Qué estimación de la varianza de utilizar para una prueba de Wald?

Question

He visto la siguiente justificación para la prueba de Wald de la hipótesis nula $H_0: \theta = \theta_0$ por un escalar parámetro $\theta$. Al $\hat{\theta}_n$ es el MLE para $\theta$ estimado a partir de una muestra independiente del tamaño de la $n$, bajo la hipótesis nula tenemos $\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$ en la distribución como $n\rightarrow \infty$ donde $i(\theta_0)$ es la información que se espera de una única observación, evaluado en $\theta_0$. Así que me parece que debemos de utilizar el estadístico de prueba

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

que será de aproximadamente $N(0,1)$ grandes $n$. Sin embargo, parece ser más común para escribir la Wald estadística como

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

es decir, para evaluar la información que se espera en $\hat{\theta}$ más que en $\theta_0$. Mi pregunta es, teniendo en cuenta que tenemos la distribución de la estadística de prueba bajo el nulo para realizar nuestra prueba de hipótesis, no tendría más sentido para intentar estimar el error estándar bajo el nulo, es decir, para estimar el $s.e.\left(\hat{\theta}\right)$$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$?

Answer 1

Cualquiera de estos enfoques es legítima, con tanto que conduce a la misma distribución asintótica nula del estadístico.

$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$ Implica que$\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$ de modo que el teorema de la aplicación continua (CMT) produce que$i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$, siempre que, como es el caso en problemas regulares, que$i$ es continua. Entonces, de nuevo por la CMT, $$\ sqrt {\ dfrac {1} {i (\ hat {\ theta} _n)}} \ to_p \ sqrt {\ dfrac {1} {i (\ theta_0)}}$$ y los rendimientos teorema de Slutzky que$$ \dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1) virtud$H_0$ también.