Al dibujar un círculo en un plano perfectamente usted puede rodear con otros 6 círculos del mismo radio. Esto funciona para cualquier radio. ¿Cuál es el significado de 6? ¿Por qué no algunos otros números?
Estoy buscando una respuesta más profunda que "hay $6\times60^\circ=360^\circ$ en un círculo, así que usted puede imagen".
La respuesta corta es "porque no trabajo", pero ese es un tipo de copout. Esto es en realidad muy profunda pregunta. Lo que se está refiriendo es la esfera de embalaje en dos dimensiones, específicamente los besos número, y en el ámbito de embalaje es en realidad bastante sofisticado y de campo activo de investigación matemática (en dimensiones arbitrarias).
He aquí una respuesta, que no está completa, pero que dice usted por qué $6$ es un número significativo en dos dimensiones. El embalaje de la que te refieres es un tipo especial de embalaje llamado un entramado de embalaje, lo que significa que se trata de un arreglo de puntos regularmente espaciados; en este caso, la red hexagonal. El número de $6$ aparece aquí porque la red hexagonal ha $6$ejes de simetría. Así que una pregunta natural puede ser si uno puede encontrar celosías en dos dimensiones, decir $7$veces o $8$ejes de simetría, ya que estos podrían corresponder a círculo de envases con más círculos alrededor de un determinado círculo. (Intuitivamente, esperamos más simétrica celosías para dar lugar a más densa envases y embalajes, donde cada círculo tiene más vecinos.)
La respuesta es no: $6$ejes de simetría es el mejor que usted puede hacer! Esto es una consecuencia de la restricción cristalográfica teorema. La generalización del teorema de a $n$ dimensiones, dice esto: es posible que una red tiene $d$-simetría sólo si $\phi(d) \le n$ donde $\phi$ es de Euler totient función.
La generalización implica que usted todavía no puede hacer mejor que $6$-simetría en $3$ dimensiones. Hay dos naturales de celosía de envases en $3$ dimensiones, que tanto se producen en las moléculas y los cristales en la naturaleza y que ambos tienen $6$ejes de simetría, y resulta que estos son los más densa esfera de envases en $3$ dimensiones. También resulta que le dan a la correcta besos número en $3$ dimensiones, que es $12$ (véase el artículo de wiki).
En $4$ dimensiones, los besos número es $24$, y creo que la correspondiente embalaje es un entramado de embalaje que viene de una celosía con $8$ejes de simetría, lo cual es posible en $4$ dimensiones. En las dimensiones superiores, sólo otros dos besos números son conocidos: $8$ dimensiones, donde el $E_8$ celosía da besos número $240$, e $24$ dimensiones, donde la Sanguijuela de celosía da besos número $196560$! Estas rejillas son realmente objetos misteriosos y están relacionados con una serie de otros objetos misteriosos en matemáticas.
Una gran referencia para estas cosas, aunque es un poco denso, es Conway y Sloane del Ámbito de Embalaje, Celosías, y los Grupos. Edit: Y por un muy accesible y atractiva introducción a la simetría en el plano y en general, recomiendo Conway, Burgiel, y Goodman-Strauss Las Simetrías de las Cosas.
La pregunta es equivalente a preguntar el por qué de 6 triángulos equiláteros encajan exactamente alrededor de un punto, con no más de espacio de sobra. La respuesta es "porque el plano Euclidiano es plana", una condición equivalente a la de los triángulos tener suma de ángulos de 180 grados (la mitad del ángulo de alrededor de un punto), por lo que cada vértice de un triángulo simétrico tiene 1/3 de la mitad de un giro completo = 1/6. Que el seis círculo disposición existe para cualquier radio es también una característica especial de la geometría Euclidiana: la invariancia de escala.
Para superficies planas, como la de un cilindro (enrollados plano) plano o de toro (como en los Asteroides juego de vídeo) el perfecto 6-círculo configuraciones sólo existen por lo suficientemente pequeño radio de los círculos. Estas geometrías son, en pequeñas regiones, el mismo que el plano Euclidiano, pero difieren "a nivel mundial", por ejemplo, no es una distancia máxima entre los puntos de el toro. Por lo que el número mágico de 6 es realmente acerca de la local de planitud (ausencia de curvatura) y tener esta configuración para los círculos de todos los tamaños es una pregunta sobre el espacio en el que los círculos de vivir.
En geometría hiperbólica hay tesselations del avión por triángulos equiláteros con ángulo de $180/n$ en cada vértice, para cualquier $n \geq 7$. En la imagen de la $n=7$ triangular tesselation en http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/3_7_trunc0_512x512.gif (triángulos en blanco con el doble tesselation por heptagons se muestra en azul) si en cada triángulo de vértices a dibujar un círculo inscrito en su heptagon, no será de 7 círculos exactamente alrededor de cada círculo, con todos los círculos del mismo radio. El mismo tipo de configuración que existe para cualquier $n$ y adecuados radio de los círculos. Así que la planitud de la condición es necesaria; el teorema es falso en negativamente a la curva en dos dimensiones de la geometría. Seis no es el número correcto para esférica geomety, y esféricas y de la geometría hiperbólica falta una radio independiente "número de círculos que se ajuste alrededor de un círculo".
En la geometría de las superficies, que tiene 5 o menos como el número de círculos que pueden caber alrededor de un único círculo caracteriza curvatura positiva, como en la geometría esférica. Tener más de 6 ajuste, o habitación extra cuando se rodea de un círculo de seis, es una caracterización de curvatura negativa, como en la geometría hiperbólica. Esta es una declaración acerca de la geometría local de general de 2 dimensiones de las superficies, y no asume la superficie tiene la misma cantidad de curvatura en todos los puntos, como sería el caso de la esférica y hiperbólico análogos de plano Euclidiano de la geometría, donde hay una homogeneidad en la suposición de que "la geometría es la misma en todos los puntos". Tiene exactamente 6 círculos encajan perfectamente trata de una caracterización de localmente Euclídeo (es decir, la curvatura cero) de la geometría. Si usted no sabe lo que la curvatura es en un sentido técnico, para los propósitos de esta discusión, es que es (para superficies) un número que puede ser asociado a cualquier punto de la superficie, y la curvatura es cero en una región de la superficie es equivalente a la capacidad de hacer una distancia preservación de la plana mapa de esa región. La imposibilidad de hacer esto para superficies de distinto de cero, la curvatura, tales como la esfera que está positivamente curva, fue de Gauss Theorema Egregium que descartó plana perfecto cartografía de la Tierra.
Planitud juega el mismo papel en las dimensiones superiores, la esfera de embalaje interpretación de la pregunta que Qiaochu sugerido. La necesaria envases sólo existen en un conjunto limitado de dimensiones. La razón es que exactamente que rodea una esfera de radio $r$ $k$ esferas de radio que significa más que un besos número de $k$, el óptimo besos de configuración también debe ser rígido (lo suficientemente apretada para que las esferas no se puede mover). La rigidez es falso en tres dimensiones y se cree que es falso en la mayoría de las otras dimensiones, pero en aquellos casos donde se sabe o se sospecha que ser verdadera (es decir, las dimensiones de $d = 2, 8, 24$ y posiblemente algunos otros) la existencia de una configuración con el mismo conjunto de igualdades entre los diversos interpoint distancias como en el óptimo besos disposición (en el piso el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^d$)de la fuerza homogénea $d$-dimensiones de la geometría del plano. Esto es debido a la deformación de la curvatura del espacio en la dirección positiva reduciría, y curvatura negativa aumentaría, la libertad a la posición de las esferas alrededor de una esfera central.
Los centros de tres círculos de radio r a tocar uno al otro forman un triángulo equilátero de lado 2r de longitud. Exactamente 6 tales triángulos equiláteros superpuestos no se formará de esta manera como seguir añadiendo más círculos alrededor del borde del círculo central. ¿Por qué 6? Estos triángulos equiláteros tendrá un vértice común en el centro, cada uno formando un ángulo de 60 grados allí. Y como usted ha señalado, "hay 6 * 60 = 360 grados en un círculo."
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