Como estamos trabajando con los racionales de la forma $\frac{x}{y}$ aquí, necesitaremos la restricción de que $x, y \neq 0$, de lo contrario obtendríamos $\frac{x}{0}$, etc. Trabajaré con la suposición de que $x, y \neq 0$ en todos los problemas.
Reflexividad:
$x \sim x \Rightarrow \frac{x}{x} = 2^k$. Obviamente, $\frac{x}{x} = 1 \forall x \in \mathbb{Z}$, así que dejemos que $k = 0 \in \mathbb{Z}$.
Symmetrica:
Queremos demostrar si $x \sim y$ entonces $y \sim x$, es decir, $\frac{x}{y} = 2^k$ implica $\frac{y}{x} = 2^l$ para algunos $k, l \in \mathbb{Z$. Nota que $\frac{y}{x} = \frac{1}{x/y}$. Así que tomamos $\frac{x}{y} = 2^k$. entonces $\frac{1}{x/y} = \frac{1}{2^k}$. Nota que $\frac{1}{2^k} = 2^{-k}$. Dejemos $-k = l$, donde $l \in \mathbb{Z}$ debido a los inversos aditivos. Entonces tenemos $\frac{y}{x} = 2^l.
En esta discusión, es importante tener en cuenta que nuestras fracciones $\frac{1}{2^k}, \frac{1}{x/y}$, etc., nunca son iguales a $0$ (debido a los numeradores distintos de cero, y tenemos $\frac{x}{y}$ definido como no cero, y $2^k \neq 0 \forall k$), así que están en $\mathbb{Q} \setminus \{0\}$.
Transitividad:
Nota que tu enfoque está confuso: o cometiste un error tipográfico, o intentabas demostrar que si $x \sim y$ y $x \sim z$, entonces puedes sacar alguna conclusión sobre $x \sim z$.
Queremos demostrar: Para cualquier $x, y, z \neq 0 \in \mathbb{Z}$, si $x \sim y$ y $y \sim z$, entonces $x \sim z$. Así que queremos demostrar si $\frac{x}{y} = 2^k$ y $\frac{y}{z} = 2^l$, entonces $\frac{x}{z} = 2^m$ para algunos $k, l, m \in \mathbb{Z}$.
Tomamos $\frac{y}{z} = 2^l$. Entonces $y = 2^l \cdot z$. Ahora tomamos $\frac{x}{y} = 2^k$. Al sustituir, obtenemos $\frac{x}{2^l \cdot z} = 2^k$. Ahora nota que $\frac{x}{2^l \cdot z} = \frac{x}{z} \cdot \frac{1}{2^l}$. Así que $\frac{x}{z} \cdot \frac{1}{2^l} = 2^k$. Entonces $\frac{x}{z} = 2^l \cdot 2^k = 2^{l+k}$.
Es decir, si $\frac{x}{y} = 2^k$ y $\frac{y}{z} = 2^l$, entonces $\frac{x}{z} = 2^{k+l}$. Hecho.
