Resolver la ecuación hamburguesas '

Question

Resolver hamburguesas 'ecuación$$u_t + uu_x =0,% con $u=u(x,t)$y la condición de ligadura$u(x,0)=x$.

No estoy seguro de cómo encontrar la solución$u(x,t)$. He aprendido el método de las características. No soy ni seguro sobre el uso de la condición de ligadura en la ecuación de Burgers.

Answer 1

Esto se llama la PDE (no viscoso) ecuación de Burgers '. Las ecuaciones características son el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias $${dx\over dt}=u, \quad {du\over dt}=0,$ $ which has solution $ $u=C_1, \quad x=ut+C_2,$$ where $C_1, C_2$ are constants. But $C_1$ is a function of $C_2$, so $$u=C_1\implies u=C_1(C_2)=C_1(x-ut).$$ To determine, $C_1$ note that the side condition requires u(x,0)=C_1(x-u(x,0)\cdot 0)=x\implies C_1(x)=x. Thus, $u = x-ut$ and we conclude $$u(x,t)={x\over 1+t}.$$ %