Pruebalo $e^{-A} = (e^{A})^{-1}$

Question

Dejar $A, B \in R^{n \times n}$. Pruebalo $e^{-A} = (e^{A})^{-1}$.

($R$ Es los números reales)

He tratado de jugar un poco con ambas partes, evaluados como sumas. No puedo conseguir los dos emparejar para arriba.

¿Algunas ideas?

Answer 1

Usted debe saber que si$X,Y\in \Bbb R^{n\times n}$ y$XY=YX$, entonces$e^{X+Y}=e^Xe^Y$.

Con esto en mente, simplemente computar$e^Ae^{-A}$.

Answer 2

Otra forma menos elegante:

$$e^A = I+ A + \frac{A^2}{2!}+ \frac{A^3}{3!}+\cdots$$$ $e^{-A} = I - A + \frac{A^2}{2!}-\frac{A^3}{3!}+\cdots$ $

ps

donde$$e^A \, e^{-A} = I + \sum_{k=1}^\infty b_k A^k

Answer 3

Bien, si ustedes permiten que el $e^{a + b} = e^a e^b$$e^0 = 1$, los cuales son propiedades generales de las funciones exponenciales y no requieren nada especial acerca de la $e$, en el sentido de que es cierto para cualquier base, entonces usted no necesita de alimentación de la serie y simplemente puede indicar que

$e^x e^{-x} = e^{(x + (-x))} = e^0 = 1, \tag{1}$

lo que de inmediato los rendimientos, sobre la multiplicación por $(e^x)^{-1}$,

$(e^x)^{-1} = e^{-x}. \tag{2}$

Si usted todavía no ha $e^{a + b} = e^a e^b$, me gustaría probar el uso de la serie de $e^x =\sum_i (x^i / i!)$ a mostrar es cierto; es un camino más fácil, sospecho.

Una prueba de $e^{a + b} = e^a e^b$ es dada en Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos, y una Introducción al Caos, por Hirsch, Smale, y Devaney, capítulo 6. Lo hacen para los desplazamientos de las matrices, pero la serie estimaciones son básicamente los mismos.

Nota añadida en la edición del jueves 5 de diciembre de 2013, 3:14 PM PST: Mi respuesta fue introducido antes de que la pregunta fue alterada a la dirección de matrices, y estoy que no va a volver a escribir ahora, pero si alguien quiere ver algo que se resuelve la matriz caso así, echa un vistazo a mi respuesta a la $M,N\in \Bbb R ^{n\times n}$, muestran que $e^{(M+N)} = e^{M}e^N$ $MN=NM$ Final de la nota.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!