álgebra lineal - Memorización de las definiciones adecuadas de tipos homomorfismo

Question

Estoy leyendo un libro sobre álgebra lineal. Sobre la base de este libro, he trabajado fuera de la terminología a continuación. Problema: Para mí, parece que la Wikipedia define homomorphism de manera diferente. Aparte de eso: ¿está usted de acuerdo con las siguientes definiciones de la homomorphism subtipos? Si es así, hay un truco para memorizar?

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Deje $V_1, V_2$ ser espacios vectoriales sobre un campo común. Consideramos una función $f : V_1 \rightarrow V_2$. Ahora, $f$ es un homomorphism iff $f$ es lineal (lineal álgebra lineal, cálculo no lineal).

epimorphism= homomorphism + surjective

monomorphism= homomorphism + inyectiva

isomorfismo= epimorphism + monomorphism

endomorfismo= homomorphism + (domain = codominio)

automorphism= endomorfismo + isomorfismo

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El artículo Álgebra homomorphism enumera (en su primera frase) de la homogeneidad y la aditividad, sino también una tercera propiedad. La tercera propiedad que parece faltar en mi definición (definición basada en el libro).

Por cierto, debo usar el término mapa en lugar de la función?

Answer 1

En cuanto a "¿cómo te acuerdas de ellos?":

Cada una de esas palabras es auto-explicativo si usted tiene un conocimiento básico de raíces griegas y latinas en inglés. Este sitio es bastante útil, como haría cualquier diccionario.* (Estos pueden ser todos griego: yo no comprobar.)

• "homo", que significa "mismo" (pensar acerca de lo que significa homogeneización)
• "epi" significa "sobre" ("epidemia"/"epicentro")
• "mono", que significa "uno" ("monólogo")
• "iso", que significa "idéntico/de igualdad" ("isobar")
• "endo", que significa "dentro/interior" ("endoesqueleto"))
• "auto" que significa "yo" ("automobile")

y, finalmente, "morfismos" que significa "forma/forma".

Cada categoría de objetos tiene su propia versión especial de estas cosas. La única cosa que los cambios entre categorías es lo que los morfismos conserva.

Una de morfismos es sólo bueno para que algebraicas categoría si conserva las características básicas de los objetos. Así, por ejemplo, en la categoría de grupos, un homomorphism sólo a preservar el producto. Para los anillos, tiene que conservar ambas operaciones. Para álgebras, tiene que conservar ambas operaciones y que tiene que ser lineal con respecto al campo. Para espacios vectoriales tiene que preservar la suma y la escala.

$^\ast$ Que tomé un curso universitario en raíces griegas y latinas en inglés, y yo se lo recomiendo a cualquier estudiante: es realmente útil.

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Adenda: en cuanto a la "función" versus "mapa": suelen ser intercambiables. Algunos libros específicos o disciplinas pueden encontrar diferentes usos para ellos, pero en la mayoría de los contextos en los que significan la misma cosa.

Answer 2

Has encontrado una definición diferente de homomorphism debido a que se busca en la página de la wiki en Álgebras. Si quieres una definición explícita de "homomorphisms entre espacios vectoriales", usted debe buscar en la definición de módulo de homorphisms.

La principal diferencia entre los módulos y álgebras es que en álgebras (a diferencia de los módulos, y en particular, los espacios vectoriales) que son capaces de multiplicar dos elementos. Observe, sin embargo, que si tomamos la definición de homomorphisms y el desprecio de la multiplicación de dos elementos (ya que no se puede multiplicar vectores), entonces esto sólo le da la linealidad.

Las definiciones que se han escrito son ciertamente correcto en el contexto de álgebra lineal. Sin embargo, todos estos términos tienen un poco más de las definiciones generales que se utiliza en algebraico temas tales como la categoría de teoría.