Ecuación diferencial $y'=x e^y + \cos x$

Question

Soy nuevo en las ecuaciones diferenciales. He intentado encontrar una solución en serie para esta ecuación, pero no sé cómo resolverla.

\begin{equation} y'=x e^y + \cos x \\y(0)=1 \end{equation}

En realidad, el problema necesita el coeficiente de $x^3$ en la solución de la serie Maclaurin.

Answer 1

Para una solución en serie, ponga $y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots$ . Suponiendo que la ecuación tiene una solución analítica, se puede diferenciar y manipular esta serie a voluntad.

Además, la expansión estándar de Maclaurin de $e^t$ da

\begin{align} e^y &= e^{a_0}e^{y-a_0} \\ &= e^{a_0}\left( 1 + (a_1 x + a_2 x^2 + \cdots) + \frac12(a_1 x + a_2 x^2 + \cdots)^2 + \cdots\right) \end{align}

La razón por la que reescribo $e^y$ como $e^{a_0}e^{y-a_0}$ es obtener un argumento de $\exp$ que es $0$ para $x=0$ .

Si seguimos los términos suficientes, obtenemos $$ e^y = e^{a_0}\left( 1 + a_1 x + \big(a_2 + \frac{a_1^2}2\big)x^2 + \big( a_3 + a_1a_2 + \frac{a_1^3}6 \big)x^3 + \cdots\right) $$ Por lo tanto (utilizando la expansión de Maclaurin de $\cos x$ ), $$ xe^y + \cos x = 1 + Ax + \big( Aa_1 - \frac12\big)x^2 + A\big( a_2 + \frac12a_1^2\big)x^3 + \cdots$$ donde $A=e^{a_0}$ . Por otro lado $$y' = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \cdots$$ y los coeficientes de estas dos series deben coincidir. Obtenemos un sistema de ecuaciones, siendo las tres primeras $$ \begin{cases} a_1 = 1 \\ A = 2a_2 \\ A a_1 - \frac12 = 3a_3 \end{cases} $$

A partir de estas ecuaciones, $a_3 = \frac13A - \frac16$ .

(La posibilidad de que haya conseguido escribir todo esto sin errores es escasa, sin embargo...)

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Sorprendentemente, la ecuación diferencial puede resolverse explícitamente. Se puede comprobar que

$$y = \sin x - \ln \bigg( C - \int xe^{\sin x}\,dx \bigg)$$

resuelve la ecuación diferencial.

Answer 2

Primero, ampliar a primer orden: $y=1+ax+o(x^2)$ . La ecuación diferencial muestra $$y'=a+o(x)=\left[o(x)\right]+\left[1+o(x)\right]\implies a=1$$ Ahora considere $e^y$ a la primera orden: $$e^y=e^{1+x+o(x^2)}=e\cdot e^x\cdot e^{o(x^2)}=e(1+x)+o(x^2)$$ Por lo tanto, a segundo orden, $$y'=x\left[e(1+x)+o(x^2)\right]+\left[1-\frac{x^2}{2}+o(x^4)\right]$$ La recopilación de términos muestra $y'[x^2]=e-\frac{1}{2}$ . Así, $$y[x^3]=\frac{2e-1}{6}$$