¿cuál es el mayor$\sqrt[n]{x+\delta}-\sqrt[n]{x}$ o$\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x-\delta}$?

Question

¿Cuál es mayor? $\sqrt[n]{x+\delta}-\sqrt[n]{x}$ O$\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x-\delta}$? Algebraica justilation no ayuda.

Answer 1

$\sqrt[n]{x+\delta}-\sqrt[n]{x}\ \boxed{\phantom{A} }\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{x-\delta}$

$\sqrt[n]{x+\delta}+\sqrt[n]{x-\delta}\ \boxed{\phantom{A} }2\sqrt[n]{x}$

$\frac{\sqrt[n]{x+\delta}+\sqrt[n]{x-\delta}}{2}\ \boxed{\phantom{A} }\sqrt[n]{x}$

$\frac{\sqrt[n]{x+\delta}+\sqrt[n]{x-\delta}}{2}\ \boxed{\phantom{A} }\sqrt[n]{\frac{\left(\sqrt[n]{x+\delta}\right)^n+\left(\sqrt[n]{x-\delta}\right)^n}{2}}$

Pero $\frac{a+b}{2}\leq\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}{2}}$.

$\tiny{\text{some conditions apply}}$

Answer 2

El$n$ - ésima función de la raíz es cóncava creciente en$(0,\infty)$. Por lo que su tasa de cambio está disminuyendo. Por lo tanto la segunda cantidad es mayor.

Editado para añadir: Alfe tiene una buena foto que explica esto con claridad.

Answer 3

Vamos a generalizar aún más: Para$\alpha>0$$x>\delta>0$, queremos decidir que es más grande $\left(x+\delta\right)^\alpha-x^\alpha$ o $x^\alpha-\left(x-\delta\right)^\alpha$.

Por lo tanto, vamos a $f(\alpha)=\left(\left(x+\delta\right)^\alpha-x^\alpha\right)-\left(x^\alpha-\left(x-\delta\right)^\alpha\right)$. Queremos decidir $\text{sign}(f(\alpha))$.

Primero:

$\begin{align} f(\alpha) &=\left(x+\delta\right)^\alpha+\left(x-\delta\right)^\alpha-2x^\alpha-x^\alpha \\ &=x^\alpha\left(1+\frac{\delta}{x}\right)^\alpha+x^\alpha\left(1-\frac{\delta}{x}\right)^\alpha-2x^\alpha \\ &=x^\alpha\left(\left(1+\frac{\delta}{x}\right)^\alpha+\left(1-\frac{\delta}{x}\right)^\alpha-2\right) \end{align}$

Tenga en cuenta que $x^\alpha>0$, por lo que podemos dividir por él, y $0<\rho:=\frac{\delta}{x}<1$. Por lo tanto, sólo tenemos que decidir el signo de:

$g(\alpha)=\left(1+\rho\right)^\alpha+\left(1-\rho\right)^\alpha-2$

Nos damos cuenta de que $g(1)=1+\rho+1-\rho-2=0$, y también que $g'(\alpha)=\alpha\left(1+\rho\right)^{\alpha-1}+\alpha\left(1-\rho\right)^{\alpha-1}>0$.

Llegamos a la conclusión de que $g$ es estrictamente creciente, por lo $\text{sign}(f(\alpha))=\text{sign}(\alpha-1)$, lo que significa que:

• $\alpha<1 \Rightarrow \left(x+\delta\right)^\alpha-x^\alpha<x^\alpha-\left(x-\delta\right)^\alpha$
• $\alpha=1 \Rightarrow \left(x+\delta\right)^\alpha-x^\alpha=x^\alpha-\left(x-\delta\right)^\alpha$
• $\alpha>1 \Rightarrow \left(x+\delta\right)^\alpha-x^\alpha>x^\alpha-\left(x-\delta\right)^\alpha$

Por tu pregunta, si $n>1$$\alpha=\frac{1}{n}<1$, y tenemos $\left(x+\delta\right)^\alpha-x^\alpha<x^\alpha-\left(x-\delta\right)^\alpha$.

Answer 4

Sugerencia: Trate de utilizar el del valor medio-Teorema de derivados.

Pero existe una justificación algebraica también, en cuenta que$$ a-b = \left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\right) \times \left\{(\sqrt[n]{a})^{n-1}+(\sqrt[n]{a})^{n-2}\sqrt[n]{b}+\ldots+\sqrt[n]{a}(\sqrt[n]{b})^{n-2}+(\sqrt[n]{b})^{n-1}\right\} $ $

Answer 5

¿Y si uso el hecho de que$(a-b)(\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i) = a^n - b^n$