desvanece integrales en todos los intervalos implica la función es cero ae

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema:

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función medible tal que para todos los $a$: $$\int_{[0,a]}f\,dm=0.$$ Demostrar que $f=0$ $m$ casi todos los $x$ (aquí se $m$ es la medida de Lebesgue).

No tengo problema en probar esto para $f$ no negativo, o en el supuesto de que $f$ es integrable. Pero la pregunta asume que $f$ es medible y no más.

Mi idea era la cosa habitual; nos fijamos en el conjunto de puntos donde $f$ es positivo y negativo y asumir uno de estos tiene una medida mayor que cero. Entonces yo quería para la estimación de uno de estos por un conjunto abierto, mire la integral en el conjunto abierto y demostrar que tenía que ser mayor que cero, una contradicción. Pero una parte clave de este ataque es el supuesto de la continuidad absoluta de la integral, que sólo se mantiene en el caso de que $f$ es integrable.

Alternativamente, si fuera integrable simplemente se podría estimar el $f$ por una función continua, donde el resultado es bastante obvio.

En última instancia, vamos a mostrar que $f$ es integrable, pero no me queda claro cómo mostrar este antes de mostrar es cero.e. Así que debe haber una manera más sencilla. ¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Answer 1

La función de $f$ debe ser integrable (uno de $\int f^+$ o $\int f^-$ es finito) para que el símbolo $\int f$ a ser definido. Así que voy a asumir que este es el caso. De hecho, entonces, desde la $\int_0^a f$ existe y es finito para cualquier $a$, se deduce que el $\int_c^d |f|<\infty$ para cualquier número $c$, $d$.

Mostramos $f$ es casi en todas partes $0$ sobre cualquier intervalo de $[c,d]$; esto implica que el resultado deseado.

Supongamos $f>0$ en el conjunto de medida positiva $E\subset[c,d]$. Elegir un subconjunto cerrado $F$ $E$ con medida positiva. Luego tenemos la $\int_F f>0$. Ahora vamos a $U=[c,d]\setminus F$. Como $U$ está abierto, se puede escribir $U$ como distinto de la unión de intervalos abiertos: $U=\bigcup_{k=1}^\infty (a_k,b_k)$.

Ahora, desde la $\int_c^d |f|<\infty$ $$ 0=\int_{[c,d]}f=\sum_{k=1}^\infty\int_{a_k}^{b_k}f+\int_F f. $$ Desde $\int_F f>0$, se deduce que el $\sum\limits_{k=1}^\infty\int_{a_k}^{b_k}f$ es negativo. Pero, a continuación, $\int_{a_n}^{b_n} f$ debe ser negativo para algunos $n$. Sin embargo, esto resulta insostenible después de observar que $$ \int_{a_n}^{b_n} f =\int_0^{b_n} f \int_0^{a_n} f =0. $$

Del mismo modo, uno puede mostrar $f$ no puede ser negativo en un conjunto de medida positiva.