Un integral con amplias funciones $\int_0^\infty\frac{x^p}{\operatorname{Ai}^2 x + \operatorname{Bi}^2 x}\mathrm dx$

Question

Necesito su ayuda con esta integral: %#% $ de #% donde $$\mathcal{K}(p)=\int_0^\infty\frac{x^p}{\operatorname{Ai}^2 x + \operatorname{Bi}^2 x}\mathrm dx,$, $\operatorname{Ai}$ son funciones Airy: conjetura de $\operatorname{Bi}$ $ $$\operatorname{Ai}\,x=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\cos\left(x\,z+\frac{z^3}{3}\right)\,\mathrm dz,$ $ no sé que $$\operatorname{Bi}\,x=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\left(\sin\left(x\,z+\frac{z^3}{3}\right)+\exp\left(x\,z-\frac{z^3}{3}\right)\right)\,\mathrm dz.$ tiene una forma cerrada general, pero eso espero, porque cálculos numéricos aproximados sugieren estos valores: $\mathcal{K}(p)$ $

Answer 1

Vamos a empezar con un ejercicio de calentamiento. Introducir las funciones $$g_{\pm}(x)=\operatorname{Ai}(x)\pm i\operatorname{Bi}(x).$$ El cómputo de la Wronskian de estas dos soluciones de la ecuación de Airy, uno puede comprobar que $$\frac{1}{\operatorname{Ai}^2(x)+\operatorname{Bi}^2(x)}=\frac{\pi}{2i}\left[\frac{g_+'(x)}{g_+(x)}-\frac{g'_-(x)}{g_-(x)}\right]$$ Esto le da a la integral de la $\mathcal{K}(0)$ $$\mathcal{K}(0)=\pi\left[\arg g_+(\infty)-\arg g_+(0)\right]=\pi\left[\pi-\frac{\pi}{3}\right]=\frac{\pi^2}{6}.$$

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Para calcular la integral de la $\mathcal{K}(3n)$, tendremos que desarrollar un método más sofisticado. En primer lugar observamos que (ver aquí) $$g_{\pm}(x)=-2e^{\mp 2\pi i/3}\operatorname{Ai}\left(e^{\mp2\pi i/3}x\right).$$ Por lo tanto \begin{align}\mathcal{K}(3n)&=\frac{\pi}{2i}\int_0^{\infty}x^{3n}\left[\frac{g_+'(x)}{g_+(x)}-\frac{g'_-(x)}{g_-(x)}\right]dx=\\ &=\frac{\pi}{2i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{S_R}z^{3n}\frac{\operatorname{Ai}'(z)}{\operatorname{Ai}(z)}dz, \end{align} donde el contorno $S_R$ en el complejo de $z$-plano se compone de dos partes: una que va desde el $Re^{2\pi i/3}$ $ 0$y el otro el que va de$0$$ Re^{-2\pi i/3}$.

Es un hecho bien conocido que la función de Airy $\operatorname{Ai}(z)$ tiene ceros (es decir, nuestro integrando los postes) en el eje real negativo sólo. Por lo tanto, por el teorema de los residuos de nuestros integral es igual a $$\mathcal{K}(3n)=-\frac{\pi}{2i}\lim_{R\rightarrow \infty}\int_{C_R}z^{3n}\left[\ln\operatorname{Ai}(z)\right]'dz,\tag{1}$$ donde $C_R$ es el arco de la circunferencia de radio $R$ centrada en el origen que va hacia la izquierda de$Re^{-2\pi i/3}$$Re^{2\pi i/3}$.

El límite de (1), por otro lado, puede calcularse mediante la asymptotics de la función de Airy como $z\rightarrow\infty$$|\arg z|<\pi$: \begin{align} \ln\operatorname{Ai}(z)\sim -\frac23 z^{3/2}-\ln2\sqrt{\pi}-\frac14\ln z+ \ln\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac16\right)_k\left(\frac56\right)_k}{k!}\left(\frac43 z^{3/2}\right)^{-k}.\tag{2} \end{align} Tenga en cuenta que si introducimos en lugar de $z$ la variable $s=\frac43z^{3/2}$, entonces la integración se realizará en el círculo de radio $\Lambda=\frac43 R^{3/2}$, es decir, un cerrado de contorno en el complejo de $s$-plano. La correspondiente integral por lo tanto puede ser calculada por los residuos mediante la selección de un término en el gran $s$ expansión de $\ln \operatorname{Ai}(z)$.

Más precisamente, se tiene la siguiente fórmula: \begin{align} \mathcal{K}(3n)=-\frac{\pi}{2i}\lim_{\Lambda\rightarrow \infty}\oint_{|s|=\Lambda} \left(\frac{3s}{4}\right)^{2n}d\left[-\frac16\ln s+\ln\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac16\right)_k\left(\frac56\right)_k}{k!}s^{-k}\right]\tag{3} \end{align} Para calcular el residuo, es suficiente para expandir el logaritmo de la suma hasta el fin de $2n$$s^{-1}$. Tenga en cuenta que el símbolo de Pochhammer coeficientes son, de hecho, algunos de los números racionales.

En el caso más simple $n=0$, el residuo es determinado por el plazo $-\frac16\ln s$ y estamos dispuestos a reproducir el resultado anterior $$\mathcal{K}(0)=-\frac{\pi}{2i}\cdot 2\pi i\cdot\left(-\frac16\right)=\frac{\pi^2}{6}.$$ La fórmula general para arbitrario $n$ sería un poco complicado (pero sencillo para obtener) debido a la necesidad de ampliar el logaritmo de la suma.

Ejemplo. El cálculo de los valores correspondientes a $M(n)=\mathcal{K}(3n)$ en Mathematica se puede hacer usando el comando

\begin{align}\mathtt{\text{ M[n_] := -Pi^2 SeriesCoefficient[ Series[(3 s/4)^(2 n) D[-Log[s]/6 +}} \\ \mathtt{\text{ Log[Sum[(-1)^k Pochhammer[1/6, k] Pochhammer[5/6, k]/(k! s^k), }} \\ \mathtt{\text{{k, 0, 2 n}]], s], {s, Infinity, 1}], 1]}} \end{align}

Esto produce, por ejemplo, $$M(0)=\frac{\pi^2}{6},\quad M(1)=\frac{5\pi^2}{32},\quad M(2)=\frac{565\pi^2}{512},$$ $$\ldots, M(10)=\frac{2\,660\,774\,144\,147\,177\,521\,025\,228\,125\,\pi^2}{2\,199\,023\,255\,552},\ldots$$ y así sucesivamente.

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Añadido: El gran $s$ expansión (2) también se puede encontrar directamente mediante la ecuación de Airy. Por otra parte, transformándolo en una ecuación de $\ln \operatorname{Ai}(z)$, uno puede evitar reexpanding el logaritmo de la suma. El precio a pagar será que los coeficientes de dilatación será determinado por una relación no lineal de la recurrencia de la relación en lugar de fórmulas explícitas.

Answer 2

Me puede dar una respuesta parcial. El uso de DLMF, en el Capítulo 9 "Aireado y Funciones Relacionadas", Funciones de Airy:

• §9.2 (ii) Valores Iniciales, fórmulas 9.2.3, 9.2.5,
• §9.8 (i) el Módulo y la Fase, Definiciones, fórmulas 9.8.3, 9.8.4, y
• §9.8 (ii) el Módulo y la Fase, Identidades fórmula 9.8.14,

podemos ver que $$\frac{d}{dx}\arctan\frac{\operatorname{Ai}x}{\operatorname{Bi}x}=-\frac1\pi\frac1{\operatorname{Ai}^2x+\operatorname{Bi}^2x}$$ y $$\int_0^\infty\frac{dx}{\operatorname{Ai}^2x+\operatorname{Bi}^2x}=\frac{\pi^2}6.$$

Esto resuelve la cuestión para el caso particular $p=0$.

Answer 3

Aquí es una fórmula explícita basada en respuesta de S.A.: % $ $$\mathcal{K}(3n)=\frac{\pi^2}{6\cdot64^n}a_{2n},$$a_n$Dónde está la secuencia definida recursivamente como sigue: $$a_0=1,\ \ a_{n+1}=(6\,n+4)\,a_n+\sum\limits_{i=0}^n a_i\,a_{n-i}$ $

Answer 4

Este podría ser un esfuerzo de equipo chicos. Voy a dar una respuesta parcial, pero esperemos que alguien tome la pelota y correr con ella. Por favor, tenga en cuenta que el siguiente post contiene grandes extensiones de terreno experimental y no probados de las matemáticas. Es también una especie de corriente de la conciencia de mi intento de solución. Si que ofende su sensibilidad, por favor mirar de lejos!

Vamos a usar @TauMu excelente respuesta para el caso en que $p=0$ a nuestro favor. Multiplicar ambos lados de su identidad por $x^p$, $$x^p\frac{d}{dx}\arctan\frac{\operatorname{Ai}x}{\operatorname{Bi}x}=-\frac1\pi\frac{x^p}{\operatorname{Ai}^2x+\operatorname{Bi}^2x},$$ entonces creo que la integración por partes da $$ \mathcal{K}(p) = \pi p \int^{\infty}_0 \! x^{p-1} \theta(x) \ \mathrm{d}x, \qquad p\ge 1, $$ donde $$ \theta(x) = \arctan{\frac{\operatorname{Ai} x}{\operatorname {Bi}x}}. $$ Estoy esperando que alguien puede evaluar ESTA integral, lugar para cualquier valor de $p$.

Sin embargo, por ahora echemos un vistazo a lo que @TauMu de referencia de la da como la expansión asintótica de $\theta(x)$$x \rightarrow -\infty$: $$ \theta\left(x\right)\sim\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3}(-x)^{{% 3/2}}\left(1+\frac{5}{32}\frac{1}{x^{3}}+\frac{1105}{6144}\frac{1}{x^{6}}+% \frac{82825}{65536}\frac{1}{x^{9}}+\frac{1282031525}{58720256}\frac{1}{x^{% {12}}}+\cdots\right), $$ Entre mirar los numeradores de los términos entre corchetes y navegación de la OEIS enlace dada por @Kirill (http://oeis.org/A226260) me di cuenta de que la conjetura de $\mathcal{K}(3)$ $\mathcal{K}(6)$ esta secuencia no sólo en el numerador, pero con un poco modificado denominador (Editar - acabo de ver que @Liu Jin Tsai mencionado esto).

Editar - tenga en cuenta que todos los otros términos que el primer término no cuentan en el siguiente trabajo para determinar los valores de $\mathcal{K}(3n)$, pero todavía aparecen (modificado por un factor de $3/2^k$) en la secuencia dada $M$. Por lo tanto, yo simplemente DEBE creer que tiene algo que ver con la $3n+1$ o $3n+2$ caso - simplemente no junto con el factor de $\pi^2$.

Deje $M$ ser la secuencia dada por la "masa fórmula[e] para la conexión de vacío las gráficas en 2$n$ nodos para un $\phi^3$ teoría de campo", lo que el infierno que significa! La secuencia es la siguiente, $$ M = \left\{{5\over24}, {5\over16}, {1105\over1152}, {565\over128}, {82825\over3072}, {19675\over96}, {1282031525\over688128}, {80727925\over4096},\cdots\right\} $$ A continuación, nuestra conjetura como un grupo que parece ser que $$ \mathcal{K}(3n) = 2^{-k}\pi^2 M(2n), \qquad n \ge 1 $$ donde $k$ depende de $n$ en alguna manera. Cuando $n=3$, $k=3$ no parecen trabajar, por lo que no es tan simple como $k=n$. He intentado $$ \mathcal{K}(9) = 2^{-4}\pi^2M(6) = \frac{19675}{16 \times 96}\pi^2 = \frac{19675}{768}\pi^2 $$ Pasé mucho tiempo tratando de validar esta con Mathematica. Pensé que mi conjetura deben he equivocado de lo que pasó en la desesperación a $n=4$, por lo que he encontrado $$ \mathcal{K}(12) = 2^{-5}\pi^2 M(8) = {80727925\over32\times4096}\pi^2 = {80727925\over131072}\pi^2 $$ lo cual está de acuerdo con la evaluación de la integral a 100 dígitos. Me di cuenta de que hay un factor que falta de $3/2$ en el plazo $M(6)$! El valor de corrección es $$ M(6) = {19675\over64}. $$ Esto tiene más sentido, ya que 64 es una potencia de 2, igual que el resto de los denominadores de las condiciones en $M$.

Sospecho que $k$ salta múltiplos de 3. Por lo $k=1,2,4,5,7,8,10,.\ldots$ no he pensado en alguna forma de mostrar esta manera concluyente sin embargo. Tenga en cuenta que la OEIS secuencia de la misa de las fórmulas en realidad sólo ha sido calculado para 8 términos. El artículo original está aquí - http://arxiv.org/pdf/hep-th/9304052v1.pdf. Ecuación 15 es la secuencia correspondiente.

Sin embargo, si la teoría de los valores de $k$ es correcto, ahora podemos lograr algo realmente, realmente genial. NO tengo idea de lo $\phi^3$ teoría, sino a través de nuestra conjetura y el poder de Mathematica podemos adivinar las condiciones de esta secuencia tratando de convertir nuestro decimal aproximaciones para $\mathcal{K}(3n)$ en fracciones!

Por ejemplo, hallar el valor de $\mathcal{K}(15)$ sospecho que $$ M(10) ={66049225625\over2097152}, $$ o algo como eso. Tenga en cuenta que $2097152=2^{12}$. Si decimos que la secuencia de $M_{2}$ es el incluso en términos de $M$, reescrito un poco, con el valor de corrección de $M(6)$ (rojo), la conjetura valor de $M(10)$ (azul) y los factores de 2 expresada de forma explícita, $$ M_2 = \left\{{5\over2^4}, {565\over2^7}, \color{red}{19675\over2^6}, {80727925\over2^{12}},\color{blue}{66049225625\over2^{21}}\cdots\right\} $$ No tengo idea de qué tipo de patrón de los poderes en los denominadores seguir.

Me doy cuenta de que conjeturas basa en una sola pieza de evidencia ($k=3$ fue omitido) y suponiendo un error en el original en papel es un muy tenue perspectiva. Ni siquiera merece el nombre de conjetura. Pero es demasiado bonito para no sugerir.

Si alguien quiere ampliar a dos o cuatro términos de la secuencia dada en Eqn 15 de este trabajo voy a estar eternamente agradecido. Mi curiosidad ha despertado por este problema, y su lugar oscuro y hermoso relación a este problema de vacío conectados gráficos. Es la conexiones inesperadas entre las ramas de las matemáticas que hacen tan hermoso. La pregunta es - ¿cuál es el valor de la integral al $p$ no es un múltiplo de 3, es un racional múltiples de $\pi^2$ y no tiene nada que ver con $\phi$ teoría?

Edit - me siento a seguir brotando palabras, pero me di cuenta de que Carl Bender coautor de la ponencia de hace veinte años, escribió mi texto favorito (http://www.amazon.com/Advanced-Mathematical-Methods-Scientists-Engineers/dp/0387989315) - me gustaría poder decirle a uno de sus números estaba mal, aunque no entiendo el trabajo! :)

Segunda Edición - he releído lo que escribí y lo que los demás ya había escrito y ahora me siento tonta, parece que todo el mundo sabía que esto ya. Estoy esperando que alguien por lo menos disfrutamos de ver escrito en orden.